2.1 Перпендикулярность прямой и плоскости - Атанасян 10 класс


Не забудь поделиться с друзьями:

116. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что:
а) DC ⊥ B1C1 и AB ⊥ A1D1, если ∠ BAD=90⁰;
б) АВ ⊥ СС1 и DD1 ⊥ A1B1, если AB ⊥ DD1.


2.1 Перпендикулярность прямой и плоскости - Атанасян 10 класс


117. В тетраэдре ABCD BC ⊥ AD. Докажите, что AD ⊥ MN, где M и N – середины рёбер AB AC.

2.1 Перпендикулярность прямой и плоскости - Атанасян 10 класс


118. Точки А, М и О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, С и D лежат в плоскости α. Какие из следующих углов являются прямыми: ∠ АОВ, ∠ МОС, ∠ DAM, ∠ DOA, ∠ BMO?

2.1 Перпендикулярность прямой и плоскости - Атанасян 10 класс


119. Прямая OA перпендикулярна к плоскости ОВС, и точка О является серединой отрезка AD. Докажите, что: а) АВ = D; б) АВ = АС, если ОВ = ОС; в) ОВ = ОС, если АВ = АС.

2.1 Перпендикулярность прямой и плоскости - Атанасян 10 класс


120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна а, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = b.

2.1 Перпендикулярность прямой и плоскости - Атанасян 10 класс


121. В треугольнике ABC дано: ∠C = 90°, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ — медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК = 12 см. Найдите КМ.

2.1 Перпендикулярность прямой и плоскости - Атанасян 10 класс


122. Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК, параллельная прямой CD. Известно, что АВ= 16√3 см, ОК = 12 см, CD = 16 см. Найдите расстояния от точек D и К до вершин А и В треугольника.

2.1 Перпендикулярность прямой и плоскости - Атанасян 10 класс


124. Прямая PQ параллельна плоскости α. Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р1 и Q1. Докажите, что PQ = P1Q1.

2.1 Перпендикулярность прямой и плоскости - Атанасян 10 класс


125. Через точки Р и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие ее соответственно в точках Р1 и Q1. Найдите P1Q1, если PQ = 15 см, РР1 = 21,5 см, QQ1 = 33,5 см.

2.1 Перпендикулярность прямой и плоскости - Атанасян 10 класс


126. Прямая MB перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника ABC. Определите вид треугольника MBD, где D — произвольная точка прямой АС.

2.1 Перпендикулярность прямой и плоскости - Атанасян 10 класс








127. В треугольнике ABC сумма углов А и В равна 90°. Прямая BD перпендикулярна к плоскости ABC. Докажите, что CD ⊥ АС.

2.1 Перпендикулярность прямой и плоскости - Атанасян 10 класс


128. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая ОМ так, что MA = МС, MB = MD. Докажите, что прямая ОМ перпендикулярна к плоскости параллелограмма.

2.1 Перпендикулярность прямой и плоскости - Атанасян 10 класс


129. Прямая AM перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что: а) прямая BD перпендикулярна к плоскости АМО; б) МО ⊥ BD.

2.1 Перпендикулярность прямой и плоскости - Атанасян 10 класс


130. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая ВМ. Известно, что ∠ MBA = ∠ MBC = 90°; MB = m, АВ = n. Найдите расстояния от точки М до: а) вершин квадрата; б) прямых АС и BD.

2.1 Перпендикулярность прямой и плоскости - Атанасян 10 класс


131. В тетраэдре ABCD точка М — середина ребра ВС, АВ=АС, DB = DC. Докажите, что плоскость треугольника ADM перпендикулярна к прямой ВС.

2.1 Перпендикулярность прямой и плоскости - Атанасян 10 класс


132. Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.

2.1 Перпендикулярность прямой и плоскости - Атанасян 10 класс


134. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку М прямой а и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной к прямой а.

2.1 Перпендикулярность прямой и плоскости - Атанасян 10 класс


135. Прямая а перпендикулярна к плоскости α и перпендикулярна к прямой b, не лежащей в этой плоскости. Докажите, что b || α.

2.1 Перпендикулярность прямой и плоскости - Атанасян 10 класс


136. Докажите, что если точка X равноудалена от концов данного отрезка АВ, то она лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной к прямой АВ.

2.1 Перпендикулярность прямой и плоскости - Атанасян 10 класс


137. Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.

2.1 Перпендикулярность прямой и плоскости - Атанасян 10 класс