2.2 Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


Не забудь поделиться с друзьями:

138. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен φ. а) Найдите наклонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен d. б) Найдите перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна m.

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


139. Из некоторой точки проведены к плоскости две наклонные. Докажите, что: а) если наклонные равны, то равны и их проекции; б) если проекции наклонных равны, то равны и наклонные; в) если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


141. Один конец данного отрезка лежит в плоскости α, а другой находится от нее на расстоянии 6 см. Найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости α.

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


142. Концы отрезка отстоят от плоскости α на расстояниях 1 см и 4 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости α.

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


143. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ABC, если АВ = 6 см.

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


145. Через вершину А прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная к плоскости треугольника. а) Докажите, что треугольник CBD прямоугольный, б) Найдите BD, если ВС = a, DC = b.

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


146. Прямая а пересекает плоскость α в точке М и не перпендикулярна к этой плоскости. Докажите, что в плоскости α через точку М проходит прямая, перпендикулярная к прямой а, и притом только одна.

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


147. Из точки М проведен перпендикуляр MB к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что треугольники AMD и MCD прямоугольные.

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


148. Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC, а точка М — середина стороны ВС. Докажите, что МК ⊥ ВС.

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


149. Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника ABC. Известно, что АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, AD = 12 см. Найдите расстояния от концов отрезка AD до прямой ВС.

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


150. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что KD = 6 см, KB = 7 см, КС = 9 см. Найдите: а) расстояние от точки К до плоскости прямоугольника ABCD; б) расстояние между прямыми АК и CD.

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


151. Прямая CD перпендикулярна к плоскости треугольника ABC. Докажите, что: а) треугольник ABC является проекцией треугольника ABD на плоскость ABC; б) если СН — высота треугольника ABC, то DH — высота треугольника ABD.

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


152. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если BF = 8 дм, АВ = 4 дм.

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


154. Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника ABC. Известно, что BD = 9 см, АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см. Найдите:
а) расстояние от точки D до прямой АС; б) площадь треугольника ACD.


2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


155. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника ABC проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АС = 4 см, а СМ = 2√7 см.

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


156. Один из катетов прямоугольного треугольника ABC равен m, а острый угол, прилежащий к этому катету, равен φ. Через вершину прямого угла С проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника, CD = n. Найдите расстояние от точки D до прямой АВ.

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


157. Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. а) Докажите, что расстояния от точки К до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны.
б) Найдите это расстояние, если ОК = 4,5 дм, АС = 6 дм, BD = 8 дм.


2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


158. Через вершину В ромба ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если АВ = 25 см, ∠ BAD = 60°, ВМ = 12,5 см.

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


159. Прямая ВМ перпендикулярна к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая, по которой пересекаются плоскости ADM и ВСМ, перпендикулярна к плоскости АВМ.

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


160. Концы отрезка АВ лежат на двух параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно d, причем d < АВ. Докажите, что проекции отрезка АВ на эти плоскости равны. Найдите эти проекции, если АВ = 13 см, d = 5 см.

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


161. Луч ВА не лежит в плоскости неразвернутого угла CBD. Докажите, что если ∠ ABC = ∠ ABD, причем ∠ ABC < 90°, то проекцией луча ВА на плоскость CBD является биссектриса угла CBD.

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


163. Наклонная AM, проведенная из точки А к данной плоскости, равна d. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой AM и данной плоскостью равен: а) 45°; б) 60°; в) 30°?

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


164. Под углом φ к плоскости α проведена наклонная. Найдите φ, если известно, что проекция наклонной вдвое меньше самой наклонной.

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс


165. Из точки А, удаленной от плоскости γ на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 30° к плоскости. Их проекции на плоскость γ образуют угол в 120°. Найдите ВС.

2.2  Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Атанасян 10 класс