2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


166. Неперпендикулярные плоскости α и β пересекаются по прямой MN. В плоскости β из точки А проведен перпендикуляр АВ к прямой MN и из той же точки А проведен перпендикуляр АС к плоскости α. Докажите, что ∠ ABC — линейный угол двугранного угла AMNC.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


167. В тетраэдре DABC все ребра равны, точка М — середина ребра АС. Докажите, что ∠ DMB — линейный угол двугранного угла BACD.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


168. Двугранный угол равен φ. На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


169. Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие грани являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна 180°.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


170. Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости α, проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ1. Найдите расстояния от точки В до прямой АС и до плоскости α, если АВ = 2 см, ∠ BAC = 150° и двугранный угол ВАСВ1 равен 45°.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


171. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости α, а катет наклонен к этой плоскости под углом 30°. Найдите угол между плоскостью α и плоскостью треугольника.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


172. Катет АС прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С лежит в плоскости α, а угол между плоскостями α и ABC равен 60°. Найдите расстояние от точки В до плоскости α, если АС = 5 см, АВ = 13 см.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


173. Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно к плоскости ABC, АВ = ВС = АС = 6, BD = 3√7. Найдите двугранные углы DACB, DABC, BDCA.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


174. Найдите двугранный угол ABCD тетраэдра ABCD, если углы DAB, DAC и АСВ прямые, АС = СВ = 5, DB = 5√5.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


175. Докажите, что если все ребра тетраэдра равны, то все его двугранные углы также равны. Найдите эти углы.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


176. Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BADM равен 60°. Найдите сторону ромба, если ∠ BAD = 45° и расстояние от точки В до плоскости ADM равно 4√3.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


177. Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


179. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны. Через некоторую точку плоскости α проведена прямая, перпендикулярная к плоскости β. Докажите, что эта прямая лежит в плоскости α.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


181. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и MB соответственно к плоскостям α и β. Прямая а пересекает плоскость AM В в точке С. Докажите, что МС ⊥ а.








2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


182. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и MB к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость AM В в точке С. а) Докажите, что четырехугольник АСВМ является прямоугольником. б) Найдите расстояние от точки М до прямой а, если AM = m, ВМ = n.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


183. Плоскости α и β пересекаются по прямой а и перпендикулярны к плоскости γ. Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости γ.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


184. Общая сторона АВ треугольников ABC и ABD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите CD, если треугольники: а) равносторонние; б) прямоугольные равнобедренные с гипотенузой АВ.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


187. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если измерения равны: а) 1, 1, 2; б) 8, 9, 12; в) √39, 7, 9.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


188. Ребро куба равно а. Найдите диагональ куба.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


189. Найдите расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, в которой не лежит эта вершина, если: а) диагональ грани куба равна m; б) диагональ куба равна d.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


190. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите следующие двугранные углы:
а) АВВ1С; б) ADD1B; в) А1ВВ1К, где К — середина ребра А1D1.


2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


191. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Докажите, что плоскости АВС1 и A1B1D перпендикулярны.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


192. Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


193. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 дано: D1B = d, AC=m, АВ = n. Найдите расстояние между: а) прямой А1С1, и плоскостью ABC; б) плоскостями ABB1 и DСС1; в) прямой DD1 и плоскостью АСС1.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


194. Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба; б) диагональ куба и диагональ грани куба.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


195. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если AC1 = 12 см и диагональ BD1 составляет с плоскостью грани AA1D1D угол в 30°, а с ребром DD1 — угол в 45°.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс


196. Изобразите куб ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро АА, и перпендикулярной к плоскости BB1D1; б) ребро АВ и перпендикулярной к плоскости CDA1.

2.3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Атанасян 10 класс