Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


197. Отрезок ВМ перпендикулярен к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD перпендикулярна к плоскости МВС.

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


198. Точка А лежит в плоскости α, а точка В удалена от этой плоскости на расстояние 9 см. Точка М делит отрезок АВ в отношении 4 : 5, считая от точки А. Найдите расстояние от точки М до плоскости α.

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


199. Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого треугольника. Докажите, что прямая SM, где М — середина гипотенузы, перпендикулярна к плоскости треугольника.

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


200. Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около многоугольника, и перпендикулярна к плоскости многоугольника, равноудалена от вершин этого многоугольника.

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


201. Найдите угол между скрещивающимися прямыми АВ и PQ, если точки Р и Q равноудалены от концов отрезка АВ.

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


202. Точка удалена от каждой из вершин прямоугольного треугольника на расстояние 10 см. На каком расстоянии от плоскости треугольника находится эта точка, если медиана, проведенная к гипотенузе, равна 5 см?

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки К до сторон треугольника, если АВ=ВС=10 см, АС = 12 см, ОК = 4 см.

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


204. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC и проходит через центр О этого треугольника, ОМ = а, ∠MCO = φ. Найдите: а) расстояние от точки М до каждой из вершин треугольника ABC и до прямых АВ, ВС и СА; б) длину окружности, описанной около треугольника ABC; в) площадь треугольника ABC.

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


205. Через вершину С прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника ABD, если СА = 3 дм, СВ = 2 дм, CD = 1 дм.

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


206. Стороны треугольника равны 17 см, 15 см и 8 см. Через вершину А меньшего угла треугольника проведена прямая AM, перпендикулярная к его плоскости. Определите расстояние от точки М до прямой, содержащей меньшую сторону треугольника, если известно, что AM = 20 см.

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


207. В треугольнике АВС дано: АВ = ВС = 13 см, АС = 10 см. Точка М удалена от прямых АВ, ВС и АС на 8 2/3 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ABC, если ее проекция на эту плоскость лежит внутри треугольника.








Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


208. Из точки К, удаленной от плоскости α на 9 см, проведены к плоскости α наклонные KL и КМ, образующие между собой прямой угол, а с плоскостью α — углы в 45° и 30° соответственно. Найдите отрезок LM.

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


209. Углы между равными отрезками АВ и АС и плоскостью α, проходящей через точку А, равны соответственно 40° и 50°. Сравните расстояния от точек В и С до плоскости α.

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


210. На рисунке 69 двугранные углы НАВР и PABQ равны. Докажите, что каждая точка плоскости АВР равноудалена от плоскостей АВН и ABQ.

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


211. Плоскости правильного треугольника KDM и квадрата KMNP взаимно перпендикулярны. Найдите DN, если КМ = а.

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


212. Точка С является проекцией точки D на плоскость треугольника ABC. Докажите, что площадь треугольника ABD равна S/cosα , где S — площадь треугольника ABC, а α — угол между плоскостями ABC и ABD.

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


213. Правильные треугольники ABC и DBC расположены так, что вершина D проектируется в центр треугольника ABC. Вычислите угол между плоскостями этих треугольников.

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


214. Проекцией прямоугольника ABCD на плоскость α является квадрат ABC1D1. Вычислите угол φ между плоскостью α и плоскостью прямоугольника ABCD, если АВ : ВС =1:2.

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


215. Параллельные прямые АВ и CD лежат в разных гранях двугранного угла, равного 60°. Точки А и D удалены от ребра двугранного угла соответственно на 8 см и 6,5 см. Найдите расстояние между прямыми АВ и CD.

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


216. Точки А и В лежат на ребре данного двугранного угла, равного 120°. Отрезки АС и BD проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла. Найдите отрезок CD, если АВ = АС = BD = а.

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


217. Сумма площадей трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равна 404 дм2, а его ребра пропорциональны числам 3, 7 и 8. Найдите диагональ параллелепипеда.

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс