Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


Не забудь поделиться с друзьями:

288. Докажите, что число вершин любой призмы четно, а число ребер кратно 3.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


289. Докажите, что площадь полной поверхности куба равна 2d2, где d — диагональ куба.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


290. Угол между диагональю основания прямоугольного параллелепипеда, равной l, и одной из сторон основания равен φ. Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен θ. Найдите площадь боковой поверхности данного параллелепипеда.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


291. В прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная d, образует с плоскостью основания угол φ, а с одной из сторон основания — угол θ. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


292. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна б см, боковое ребро равно 8 см. Найдите расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


293. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 диагонали В1D и D1В взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол между диагоналями А1С и B1D призмы равен 60°.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


294. Правильная четырехугольная призма пересечена плоскостью, содержащей две ее диагонали. Площадь сечения равна S0, а сторона основания а. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


295. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб. Боковое ребро СС1 составляет равные углы со сторонами основания CD и СВ. Докажите, что: a) CC1 ⊥ BD; б) BB1D1D — прямоугольник; в) BD ⊥ AA1C1; г) AA1C1 ⊥ ВВ1D1.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


296. Высота правильной треугольной призмы равна h. Плоскость α, проведенная через среднюю линию нижнего основания и параллельную ей сторону верхнего основания, составляет с плоскостью нижнего основания острый двугранный угол φ. Найдите площадь сечения призмы плоскостью α.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


297. Основанием треугольной призмы ABCA1B1C1 является правильный треугольник ABC, BD — высота этого треугольника, а вершина А, проектируется в его центр. Докажите, что: a) A1BD⊥AA1C1; б) АА1O ⊥ ВВ1С; в) грань BB1C1C — прямоугольник.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


298. Основание параллелепипеда с боковым ребром b — квадрат со стороной а. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от вершин нижнего основания. Найдите площадь полной поверхности.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


299. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна m, а площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


300. В правильной треугольной пирамиде DABC точки Е, F и Р — середины сторон ВС, АВ и AD. Определите вид сечения, проходящего через эти точки, и найдите его площадь, если сторона основания пирамиды равна а, боковое ребро равно b.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


301. Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды DABC равен 120°. Расстояние от вершины В до бокового ребра DA равно 16 см. Найдите апофему пирамиды.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


302. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 3 см и 7 см и одной из диагоналей 6 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4 см. Найдите боковые ребра пирамиды.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


303. Основанием пирамиды является ромб. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания и образуют двугранный угол в 120°, а две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 30°. Найдите площадь поверхности пирамиды, если ее высота равна 12 см.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс








304. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 60°. Докажите, что двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды вдвое меньше двугранного угла при боковом ребре.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


305. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна h, плоский угол при вершине равен α. Найдите площадь боковой поверхности.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


306. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h и составляет угол φ с плоскостью боковой грани. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


307. В правильной пирамиде MABCD AM = b, AD = а. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью α, проходящей через диагональ BD основания параллельно ребру МА, и найдите площадь сечения, б) Докажите, что точки М и С равноудалены от плоскости α.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


308. Основанием пирамиды является ромб со стороной 5 см и меньшей диагональю 6 см. Высота пирамиды, равная 3,2 см, проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Найдите высоты боковых граней пирамиды, проведенные из ее вершины.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


309. Основанием пирамиды с равными боковыми ребрами является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Высота пирамиды равна 6 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через меньшую сторону и середину высоты.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


310. В пирамиде DABC ребро DA перпендикулярно к плоскости ABC. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если АВ = АС = 25 см, ВС = 40 см, DA = 8 см.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


311. Основанием пирамиды DABC является треугольник со сторонами АС = 13 см, АВ = 15 см, СВ = 14 см. Боковое ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. а) Найдите площадь полной поверхности пирамиды, б) Докажите, что основание перпендикуляра, проведенного из вершины А к плоскости грани BDC, лежит на высоте этой грани, и найдите длину этого перпендикуляра.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


312. В правильной n-угольной пирамиде боковые грани составляют с плоскостью основания угол φ. Найдите тангенс угла между плоскостью основания и боковым ребром.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


313. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 12 дм и 6 дм, а ее высота 1 дм. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


314. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 63 см, апофема — 65 см, а стороны оснований относятся как 7 : 3. Найдите стороны оснований пирамиды.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


315. Докажите, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


316. Докажите, что центры граней правильного тетраэдра являются вершинами другого правильного тетраэдра.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


317. Докажите, что центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


318. Докажите, что сумма двугранного угла правильного тетраэдра и двугранного угла правильного октаэдра равна 180°.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


319. Сколько плоскостей симметрии, проходящих через данную вершину, имеет правильный тетраэдр?
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс