4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


327. На рисунке 104 изображен параллелепипед ABCDA1B1С1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: а) АВ + A1D1; б) АВ + AD1; в) DA + В1В; г) DD1 + DB; д) DB1 + ВС.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


328. Дан тетраэдр ABCD. Докажите, что: а) АВ + BD = АС + CD; б) АВ + ВС = DC + AD; в) DC + BD = AC + ВА.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


329. Назовите все векторы, образованные ребрами параллелепипеда ABCDA1B1С1D1, которые: а) противоположны вектору СВ; б) противоположны вектору В1А; в) равны вектору -DC; г) равны вектору –А1В1.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


330. Нарисуйте параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и обозначьте векторы С1D1, ВА1, AD соответственно через а, b, с. Изобразите на рисунке векторы: а) а-b; б) а - с; в) b - а; г) с - d; д) с - а.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


331. Пусть ABCD — параллелограмм, а О — произвольная точка пространства. Докажите, что: а) ОВ-ОА = ОС- OD; б) ОВ-OС = DA.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


332. На рисунке 104 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Представьте векторы АВ1 и DK в виде разности двух векторов, начала и концы которых совпадают с отмеченными на рисунке точками.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


333. В пространстве даны четыре точки А, В, С и D. Назовите вектор с началом и концом в данных точках, равный сумме векторов:
а) (АВ + СА + DC) + (ВС + CD); б) (АВ - АС) + DC.

4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


334. Дан прямоугольный параллелепипед KLMNK1L1M1N1. Докажите, что: а) |МК + ММ1| = |МК –ММ1|; б) |K1L1-NL1| = |ML + MM1|; в) |NL-M1L| = |K1N-LN|.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


335. Упростите выражение: а) АВ + MN + ВС + СА + PQ + NM; б) FK + MQ + КР+ AM +QK + PF; в) КМ + DF + АС + FK + CD + СА + MP; г) АВ + BA+CD+ MN + DC + NM.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


336. Даны точки А, В, С и D. Представьте вектор АВ в виде алгебраической суммы следующих векторов: а) AC, DC, BD; б) DA, DC, СВ; в) DA, CD, ВС.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


337. Упростите выражение: a) OP - ЕР + KD - КА; б) AD + MP + ЕК - ЕР- MD; в) АС- ВС- РМ - АР + ВМ.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


338. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что OA + ОС1 = ОС + OA1, где О — произвольная точка пространства.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


339. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Укажите вектор х, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, такой, что: a)DC + D1A1 + CD1 + х + А1C1 = DB; б) DA + х + D1B + AD1 + ВА = DC.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


340. Дана треугольная призма АВСА1В1С1. Укажите вектор х, начало и конец которого являются вершинами призмы, такой, что: а) АА1 + В1С-х=ВА; б )АС1-ВВ1+х = АВ; в) АВ1 + х = АС- х + ВС1.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс








341. Основанием четырехугольной пирамиды с вершиной Р является трапеция ABCD. Точка О — середина средней линии трапеции. Докажите, что РА + РВ + PC + PD = 4 РО.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


342. Точка Р — вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма всех векторов с началом в точке Р, образованных боковыми ребрами пирамиды, равна сумме всех векторов с началом в точке Р, образованных апофемами.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


343. Известно, что АО = 1/2 АВ. Докажите, что точки А и В симметричны относительно точки О.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


344. Диагонали куба ABCDA1B1С1D1 пересекаются в точке О. Найдите число k такое, что: а) АВ = k • CD; б) АС1 = k •АО; в) OB1 = k • B1D.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


345. Точки Е и F — середины оснований АВ и ВС параллелограмма ABCD, а О — произвольная точка пространства. Выразите: а) вектор OA - ОС через вектор EF; б) вектор OA - ОЕ через вектор DC.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


346. Точки М и N — середины оснований АВ и CD трапеции ABCD, а О — произвольная точка пространства. Выразите вектор ОМ - ON через векторы AD и ВС.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


347. Упростите: а) 2 (m + n) - 3(4m - n) + m; б) m - 3(n – 2m + р) + 5 (р- 4m).
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


348. Докажите, что в параллелепипеде ABCDA1B1С1D1 AC1+B1D = 2BC.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


350. Известно, что р = а + b + с, причем векторы a, b и с попарно не сонаправлены. Докажите, что |р|<|а|+|b|+|с|.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


351. Векторы а и с, а также b и с коллинеарны. Докажите, что коллинеарны векторы: а) а + b и с; б) а - b и с; в) а + Зb и с; г) -а + 2b и с.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


352. Векторы а + b и а - b коллинеарны. Докажите, что векторы а и b коллинеарны.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


353. Векторы а + 2b и а - Зb коллинеарны. Докажите, что векторы а и b коллинеарны.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс


354. Докажите, что если векторы а + b и а - b не коллинеарны, то не коллинеарны и векторы: а) а и b; б) а + 2b и 2а - b.
4.2 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число - Атанасян 10 класс