4.3 Компланарные векторы - Атанасян 10 класс


355. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Какие из следующих трех векторов компланарны: а) АА1, СС1, ВВ1; б) АВ, AD, АА1; в) B1В, AC, DD1; г) AD, СС1, А1В1?
4.3 Компланарные векторы - Атанасян 10 класс


356. Точки Е и F — середины ребер АС и BD тетраэдра ABCD. Докажите, что 2FE = ВА + DC. Компланарны ли векторы FE, ВА и DC?
4.3 Компланарные векторы - Атанасян 10 класс


357. Даны параллелограммы ABCD и AB1C1D1. Докажите, что векторы ВВ1, СС1 и DD1 компланарны.
4.3 Компланарные векторы - Атанасян 10 класс


358. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: а) АВ + AD + АА1; б) DA + DC + DD1; в) А1В1 + С1В1 + + ВВ1; г) А1А + A1D1 + АВ; д) В1А1 + ВВ1 + ВС.
4.3 Компланарные векторы - Атанасян 10 класс


359. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор BD1, по векторам ВА, ВС и ВВ1. б) Разложите вектор B1D1 по векторам А1А, А1В и A1D1.
4.3 Компланарные векторы - Атанасян 10 класс

4.3 Компланарные векторы - Атанасян 10 класс

4.3 Компланарные векторы - Атанасян 10 класс


360. В вершинах А1, В и D куба ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно а, помещены точечные заряды q. а) Выразите результирующую напряженность создаваемого ими электрического поля в точках А и С1 через вектор АС1. б) Найдите абсолютную величину результирующей напряженности в точках С, В1, в центре грани A1B1C1D1 и в центре куба.
4.3 Компланарные векторы - Атанасян 10 класс


361. Диагонали параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке О. Разложите векторы CD и D1О по векторам АА1, АВ и AD.
4.3 Компланарные векторы - Атанасян 10 класс


363. Основанием пирамиды с вершиной О является параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке М. Разложите векторы OD и ОМ по векторам а = OA, b = OB и с = ОС.
4.3 Компланарные векторы - Атанасян 10 класс


364. Точка К — середина ребра B1C1 куба ABCDA1B1C1D1. Разложите вектор АК по векторам а = АВ, b = AD, с = АА1 и найдите длину этого вектора, если ребро куба равно m.
4.3 Компланарные векторы - Атанасян 10 класс








365. Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. Точка М — середина АВ, а точка К — середина MD. Разложите векторы ОМ и ОК по векторам а = OA, b = OB, с = ОС.
4.3 Компланарные векторы - Атанасян 10 класс


367. В тетраэдре ABCD медиана АА1 грани АВС делится точкой К так, что АК : КА1 = 3:7.
Разложите вектор DK по векторам DA, DB, DC.

4.3 Компланарные векторы - Атанасян 10 класс


368. Точки М и N являются серединами ребер АВ и A1D1 параллелепипеда АВСDА1B1С1D1. Разложите, если это возможно, по векторам АВ и AD вектор: а) АС; б) СМ; в) C1N; г) АС1; д) A1N; е) AN; ж) MD.
4.3 Компланарные векторы - Атанасян 10 класс


369. Медианы грани ABC тетраэдра ОАВС пересекаются в точке М. Разложите вектор OA по векторам ОВ, ОС, ОМ.
4.3 Компланарные векторы - Атанасян 10 класс


370. Высоты AM и DN правильного тетраэдра ABCD пересекаются в точке К. Разложите по векторам а = DA, b = DB, с = DC вектор: a) DN; б) DK; в) AM; г) МК.
4.3 Компланарные векторы - Атанасян 10 класс


371. В тетраэдре ABCD медианы грани BCD пересекаются в точке О. Докажите, что длина отрезка АО меньше одной трети суммы длин ребер с общей вершиной А.
4.3 Компланарные векторы - Атанасян 10 класс


373. Точки А1, В1, С1 и М1 — основания перпендикуляров, проведенных к плоскости α из вершин треугольника ABC и из точки М пересечения медиан этого треугольника (рис. 119). Докажите, что ММ1 = 1/3 (АА1 + ВВ1 + СС1). Останется ли верным равенство, если какие-то стороны треугольника ABC пересекаются с плоскостью α?
4.3 Компланарные векторы - Атанасян 10 класс


374. Отрезки АВ и CD не лежат в одной плоскости, точки М и N — середины этих отрезков. Докажите, что MN < 1/2 (АС + BD).
4.3 Компланарные векторы - Атанасян 10 класс


375. В тетраэдре ABCD точки К и М — середины ребер АВ и CD. Докажите, что середины отрезков КС, KD, МА и MB являются вершинами некоторого параллелограмма.
4.3 Компланарные векторы - Атанасян 10 класс