Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


Не забудь поделиться с друзьями:

376. Дан параллелепипед MNPQM1N1P1Q1. Докажите, что: а) MQ + M1Q1 = N1P1 + NP; б) PQ + NP1 =NQ1; в) Q1Р1+QQ1 =QP1.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


377. На рисунке 120 изображен правильный октаэдр. Докажите, что: а) АВ + FB = DB; б) AC-CF = EC; в) АВ + АС + AD + АЕ = 2AF.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


378. Докажите, что разность векторов а и b выражается формулой а - b = а + (-b).
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


379. Дан тетраэдр ABCD. Найдите сумму векторов: а) AB + BD + DC; б) AD + CB + DC;
в) AB+CD + BC + DA.

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


380. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Найдите сумму векторов: а) АВ + B1C1 + DD1 + CD; б) В1С1 + AB + DD1 + CB1 + ВС + А1А; в) BA + AC + CB + DC + DA.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


381. Даны треугольники ABC, А1В1С1 и две точки О и Р пространства. Известно, что OA + OP = OA1, OB + OP = OB1, ОС + OP = ОС1. Докажите, что стороны треугольника A1В1C1 соответственно равны и параллельны сторонам треугольника ABC.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


382. При каких значениях k в равенстве а = kb, где b ≠ 0, векторы а и b: а) коллинеарны; б) сонаправлены; в) противоположно направлены; г) являются противоположными?
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


383. Числа k и l не равны друг другу. Докажите, что если векторы а + kb и а + lb не коллинеарны, то: а) векторы а и b не коллинеарны; б) векторы а + k1b и а + l1b не коллинеарны при любых неравных числах k1 и l1.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


384. Точки А1, В1 и С1 — середины сторон ВС, АС и АВ треугольника ABC, точка О — произвольная точка пространства. Докажите, что OA1 + OB1 + OC1 =ОА + OB + ОС.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


385. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, пересекаются в точке М. Точка О — произвольная точка пространства. Докажите, что справедливо равенство ОМ = 1/4 (ОА+ ОВ + ОС + OD).
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


386. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что для любой точки М пространства справедливо неравенство МО < 1/4 (MA + MB + МС + MD).
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


387. Три точки М, N и Р лежат на одной прямой, а точка О не лежит на этой прямой. Выразите вектор ОР через векторы ОМ и ON, если: а) NP = 2MN; б) MP = -1/2 PN?; в) МР = k • MN, где k — данное число.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


388. Докажите, что векторы р, а и b компланарны, если: а) один из данных векторов нулевой; б) два из данных векторов коллинеарны.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


389. На двух скрещивающихся прямых отмечены по три точки: А1, А2,А3 и В1, В2, В3, причем А1А2 = k · А1А3, В1В2 = k • В1В3. Докажите, что прямые А1В1, А2В2, А3В3 параллельны некоторой плоскости.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


390. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором АВ = AD = а, АА1 = 2а. В вершинах В1 и D1, помещены заряды q, а в вершине А — заряд 2q. Найдите абсолютную величину результирующей напряженности электрического поля: а) в точке А1; б) в точке С; в) в центре грани A1B1С1D1; г) в центре грани ABCD.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс

Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


391. В тетраэдре ABCD точка К — середина медианы ВВ1 грани BCD. Разложите вектор АК по векторам а = АВ, b = АС, с = AD.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


392. На трех некомпланарных векторах р = АВ, q = AD, r = АА1 построен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Разложите по векторам р, q и r векторы, образованные диагоналями этого параллелепипеда.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


393. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка К — середина ребра СС1. Разложите вектор: а) АК по векторам АВ, AD, АА1; б) DА1 по векторам АВ1, ВС1 и CD1.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


394. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали грани DCC1D1 пересекаются в точке М. Разложите вектор AM по векторам АВ, AD и АА1.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


395. Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников ABC и А1В1С1 совпадают, то прямые АА1, ВВ1 и СС1 параллельны некоторой плоскости.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


396. В тетраэдре ABCD точка М — середина ребра ВС. Выразите через векторы b = АВ, с = АС и d = AD следующие векторы: ВС, CD, DB и DM.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


397. В тетраэдре ABCD точки М и N являются соответственно точками пересечения медиан граней ADB и BDC. Докажите, что MN || АС, и найдите отношение длин этих отрезков.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


398. Треугольники ABC, А1В1С1 и А2В2С2 расположены так, что точки А, В, С являются серединами отрезков А1А2, В1В2, С1С2 соответственно. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABC, А1В1С1 и А2В2С2 лежат на одной прямой.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс


399. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан боковых граней тетраэдра, подобен основанию тетраэдра.
Дополнительные задачи - Атанасян 10 класс