1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


Не забудь поделиться с друзьями:

66. Назовите все пары скрещивающихся (т. е. принадлежащих скрещивающимся прямым) ребер тетраэдра ABCD. Сколько таких пар ребер имеет тетраэдр?
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


67. В тетраэдре DABC дано: ∠ADB = 54°, ∠BDC = 72°, ∠CDA = 90°, DA = 20 см, BD = 18 см, DC = 21 см. Найдите: а) ребра основания ABC данного тетраэдра; б) площади всех боковых граней.
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


68. Точки М и N — середины ребер АВ и АС тетраэдра ABCD. Докажите, что прямая MN параллельна плоскости BCD.
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


69. Через середины ребер АВ и ВС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SAB и SBC по параллельным прямым.
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


70. Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер АВ, АС и AD тетраэдра ABCD, параллельна плоскости BCD.
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


71. Изобразите тетраэдр DABC и на ребрах DB, DC и ВС отметьте соответственно точки М, N и К. Постройте точку пересечения: а) прямой MN и плоскости ABC; б) прямой KN и плоскости ABD.
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


72. Изобразите тетраэдр DABC и постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости грани ABC, если: а) точка М является серединой ребра AD; б) точка М лежит внутри грани ABD.
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


73. В тетраэдре ABCD точки М, N и Р являются серединами ребер АВ, ВС и CD, АС = 10 см, BD = 12 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину К ребра AD, и найдите периметр четырехугольника, полученного при пересечении тетраэдра с плоскостью MNP.
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


74. Через точку пересечения медиан грани BCD тетраэдра ABCD проведена плоскость, параллельная грани ABC. а) Докажите, что сечение тетраэдра этой плоскостью есть треугольник, подобный треугольнику ABC. б) Найдите отношение площадей сечения и треугольника ABC.
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


75. Изобразите тетраэдр KLMN. а) Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро KL и середину А ребра MN. б) Докажите, что плоскость, проходящая через середины Е, О и F отрезков LM, МА и МК, параллельна плоскости LKA. Найдите площадь треугольника EOF, если площадь треугольника LKA равна 24 см2.
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


76. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что AC || A1C1 и BD || B1D1.
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


77. Сумма всех ребер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 120 см. Найдите каждое ребро параллелепипеда, если AB/BC=4/5; BC/BB1=5/6.
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


78. На рисунке 42 изображен параллелепипед ABCDA1B1C1D1, на ребрах которого отмечены точки М, N, М1 и N1 так, что AM = CN = А1М1 =C1N1. Докажите, что MBNDM1B1N1D1 — параллелепипед.
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


79. Изобразите параллелепипед АВСDА1В1С1D1 и постройте его сечение: а) плоскостью AВС1; б) плоскостью АСС1. Докажите, что построенные сечения являются параллелограммами.
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


80. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечения плоскостями ABC1 и DCB1 а также отрезок, по которому эти сечения пересекаются.
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


81. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте точки М и N соответственно на ребрах ВВ1 и СС1. Постройте точку пересечения: а) прямой MN с плоскостью ABC; б) прямой AM с плоскостью А1В1С1.
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


82. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте внутреннюю точку М грани АА1В1В. Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку М параллельно: а) плоскости основания ABCD; б) грани ВВ1С1С; в) плоскости BDD1.
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


83. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро СС1 и точку пересечения диагоналей грани AA1D1D; б) точку пересечения диагоналей грани ABCD параллельно плоскости АВ1С1.
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


84. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки В1, D1 и середину ребра CD. Докажите, что построенное сечение — трапеция.
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


85. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1С1D1 и постройте его сечение плоскостью BKL, где точка К — середина ребра АА1, а точка L — середина ребра СС1. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


86. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1С1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через диагональ АС основания параллельно диагонали BD1. Докажите, что если основание параллелепипеда — ромб и углы ABB1 и СВВ1 прямые, то построенное сечение — равнобедренный треугольник.
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс


87. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки М, N и К лежат соответственно на ребрах: а) ВВ1, АА1, AD; б) CC1, AD, ВВ1.
1.4. Тетраэдр и параллелепипед - Атанасян 10 класс