Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар - Атанасян 11 класс


629. Докажите, что если одна из граней вписанной в цилиндр треугольной призмы проходит через ось цилиндра, то две другие грани взаимно перпендикулярны.

Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар - Атанасян 11 класс


630. В конус высотой 12 см вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Найдите отношение площадей полных поверхностей пирамиды и конуса.

Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар - Атанасян 11 класс


631. В усеченный конус вписана правильная усеченная n-угольная пирамида (т. е. основания пирамиды вписаны в основания усеченного конуса). Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 5 см, а высота равна 4 см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды при: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6.

Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар - Атанасян 11 класс


632. Докажите, что если в правильную призму можно вписать сферу, то центром сферы является середина отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы.

Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар - Атанасян 11 класс


633. Докажите, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды.

Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар - Атанасян 11 класс


634. Найдите площадь полной поверхности описанного около сферы радиуса R многогранника, если этот многогранник: а) куб; б) правильная шестиугольная призма; в) правильный тетраэдр.

Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар - Атанасян 11 класс


635. Около сферы радиуса R описана правильная четырехугольная пирамида, плоский угол при вершине которой равен α.
а) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
б) Вычислите эту площадь при R = 5 см, α = 60°.


Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар - Атанасян 11 класс


636. Докажите, что если в правильную усеченную четырехугольную пирамиду можно вписать сферу, то апофема пирамиды равна полусумме сторон оснований ее боковой грани.

Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар - Атанасян 11 класс


637. Докажите, что центр сферы, описанной около: а) правильной призмы, лежит в середине отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы; б) правильной пирамиды, лежит на высоте этой пирамиды или ее продолжении.

Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар - Атанасян 11 класс


638. Докажите, что: а) около любого тетраэдра можно описать сферу;
б) в любой тетраэдр можно вписать сферу.








Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар - Атанасян 11 класс


639. Радиус сферы равен R. Найдите площадь полной поверхности: а) вписанного в сферу куба; б) вписанной правильной шестиугольной призмы, высота которой равна R; в) вписанного правильного тетраэдра.

Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар - Атанасян 11 класс


640. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковое ребро равно 2а. Найдите радиусы вписанной и описанной сфер.

Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар - Атанасян 11 класс


641. В правильной четырехугольной пирамиде радиусы вписанной и описанной сфер равны 2 см и 5 см. Найдите сторону основания и высоту пирамиды.

Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар - Атанасян 11 класс


642. Сфера вписана в цилиндр (т. е. она касается оснований цилиндра и каждой его образующей, рис. 172, а). Найдите отношение площади сферы к площади полной поверхности цилиндра.

Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар - Атанасян 11 класс


643. В конус с углом φ при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписана сфера радиуса R (т. е. сфера касается основания конуса и каждой его образующей, рис. 172, б). Найдите: а) r, если известны R и φ; б) R, если известны r и φ; в) φ, если R= 1 см, r = √3 см.

Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар - Атанасян 11 класс


644. В конус вписана сфера радиуса r. Найдите площадь полной поверхности конуса, если угол между образующей и основанием конуса равен α.

Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар - Атанасян 11 класс


645. Цилиндр вписан в сферу (т. е. основания цилиндра являются сечениями сферы, рис. 173, а). Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к площади сферы, если высота цилиндра равна диаметру основания.

Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар - Атанасян 11 класс


646. Конус с углом φ при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписан в сферу радиуса R (т. е. вершина конуса лежит на сфере, а основание конуса является сечением сферы, рис. 173, б). Найдите: а) r, если известны R и φ б) R, если известны r и φ; в) φ, если R = 2r.

Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар - Атанасян 11 класс