8.1 Углы и отрезки, связанные с окружностью - Атанасян 11 класс


Не забудь поделиться с друзьями:

816. Через точку D, лежащую на радиусе OA окружности с центром О, проведена хорда ВС, перпендикулярная к OA, а через точку В проведена касательная к окружности, пересекающая прямую OA в точке Е. Докажите, что луч ВА — биссектриса угла СВЕ.
8.1 Углы и отрезки, связанные с окружностью - Атанасян 11 класс


817. Две окружности имеют единственную общую точку М. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках А и А1, а другую — в точках В и В1. Докажите, что AA1 || ВВ1.
8.1 Углы и отрезки, связанные с окружностью - Атанасян 11 класс


818. Прямая АС — касательная к окружности с центром О1, а прямая BD — касательная к окружности с центром О2 (рис. 208). Докажите, что: a) AD || ВС; б) АВ2 = AD • ВС; в) BD2 : АС2 = AD : ВС.
8.1 Углы и отрезки, связанные с окружностью - Атанасян 11 класс


819. Точка М лежит внутри четырехугольника ABCD. Докажите, что ∠AMD = ∠ABM + ∠MCD тогда и только тогда, когда окружности, описанные около треугольников АВМ и MCD, имеют в точке М общую касательную.
8.1 Углы и отрезки, связанные с окружностью - Атанасян 11 класс


820. Окружность касается сторон АВ и АС треугольника ABC и пересекает сторону ВС в точках Р и Q, BP = CQ. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
8.1 Углы и отрезки, связанные с окружностью - Атанасян 11 класс


821. Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.
8.1 Углы и отрезки, связанные с окружностью - Атанасян 11 класс


822. Через точку К, лежащую на окружности с центром О, проведены хорда КА и касательная KB, а через точку О проведена прямая, перпендикулярная к прямой OA и пересекающая хорду КА в точке М, а касательную KB — в точке N. Докажите, что NK = NM.
8.1 Углы и отрезки, связанные с окружностью - Атанасян 11 класс


823. Точки В, и С, — середины дуг АВ и АС (рис. 209). Докажите, что AM =AN.
8.1 Углы и отрезки, связанные с окружностью - Атанасян 11 класс


824. Точки А, В, С и D лежат на одной окружности, луч BD содержит биссектрису ВМ треугольника ABC. Докажите, что ∠AMD = ∠BAD.
8.1 Углы и отрезки, связанные с окружностью - Атанасян 11 класс


825. Хорды АВ и CD взаимно перпендикулярны, луч АВ является биссектрисой угла DAE. Докажите, что АЕ⊥ ВС. Рассмотрите все возможные случаи.
8.1 Углы и отрезки, связанные с окружностью - Атанасян 11 класс


826. Отрезки АА1 и ВВ1 — высоты треугольника ABC. Докажите, что точки А, В, А1 и В1 лежат на одной окружности.
8.1 Углы и отрезки, связанные с окружностью - Атанасян 11 класс








827. Докажите, что если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырехугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.
8.1 Углы и отрезки, связанные с окружностью - Атанасян 11 класс


828. В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов А и В пересекаются в точке, лежащей на стороне CD. Докажите, что CD = ВС + AD.
8.1 Углы и отрезки, связанные с окружностью - Атанасян 11 класс


829. Докажите, что в любом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).
8.1 Углы и отрезки, связанные с окружностью - Атанасян 11 класс


830. На окружности даны четыре точки А, В, С и D в указанном порядке. Точка М — середина дуги АВ, К — точка пересечения хорд АВ и MD, Е — точка пересечения хорд АВ и МС. Докажите, что около четырехугольника CDKE можно описать окружность.
8.1 Углы и отрезки, связанные с окружностью - Атанасян 11 класс


831. Противоположные стороны выпуклого четырехугольника продолжены до пересечения. Докажите, что около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда биссектрисы образовавшихся углов взаимно перпендикулярны.
8.1 Углы и отрезки, связанные с окружностью - Атанасян 11 класс


832. Докажите, что в выпуклый многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда окружности, вписанные в два треугольника, на которые он разделяется диагональю, касаются этой диагонали в одной точке.
8.1 Углы и отрезки, связанные с окружностью - Атанасян 11 класс


833. Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению ее оснований.
8.1 Углы и отрезки, связанные с окружностью - Атанасян 11 класс


834. В трапецию ABCD с основаниями АВ и CD (АВ > CD) вписана окружность. Найдите площадь трапеции, если CD = a, DK = b и АК = d, где К — точка касания окружности и стороны AD.
8.1 Углы и отрезки, связанные с окружностью - Атанасян 11 класс


835. На каждой из сторон выпуклого четырехугольника отмечены две точки. Эти точки соединены отрезками так, как показано на рисунке 210. Известно, что в каждый из закрашенных четырехугольников можно вписать окружность. Докажите, что и в исходный четырехугольник можно вписать окружность.
8.1 Углы и отрезки, связанные с окружностью - Атанасян 11 класс