8.2 Решение треугольников - Атанасян 11 класс


Не забудь поделиться с друзьями:

836. На стороне ВС треугольника ABC отмечена точка D так, что BD : АВ = DC : АС. Докажите, что отрезок AD — биссектриса треугольника ABC.
8.2 Решение треугольников - Атанасян 11 класс


837. Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника ABC пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что BD : АВ = DC : АС.
8.2 Решение треугольников - Атанасян 11 класс


838. Биссектрисы АА1, ВВ1 и СС1 треугольника ABC со сторонами АВ = с, ВС = а и СА = b пересекаются в точке О. а) Найдите отношения АО/АА1, ВО/ВВ1, СО/СС1, б) Докажите, что АО/АА1+ВО/ВВ1+СО/СС1=2, ОА1/АА1+В1О/ВВ1+С1О/СС1=1, в) Может ли хотя бы одна из биссектрис треугольника делиться точкой О пополам? г) Докажите, что одна из биссектрис делится точкой О в отношении 2:1, считая от вершины, тогда и только тогда, когда одна из сторон треугольника равна полусумме двух других сторон.
8.2 Решение треугольников - Атанасян 11 класс


839. Докажите, что произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты, проведенной к третьей стороне, на диаметр описанной окружности.
8.2 Решение треугольников - Атанасян 11 класс


840. Внутри треугольника ABC взята точка М. Докажите, что площади треугольников ВАМ и ВСМ равны тогда и только тогда, когда точка М лежит на медиане треугольника ABC, проведенной из вершины В.
8.2 Решение треугольников - Атанасян 11 класс


841. Докажите, что из медиан данного треугольника можно построить треугольник, и найдите отношение его площади к площади данного треугольника.
8.2 Решение треугольников - Атанасян 11 класс


842. Найдите площадь треугольника, если его высоты равны 3 см, 4 см и 6 см.
8.2 Решение треугольников - Атанасян 11 класс


843. Найдите площадь треугольника, если его медианы равны 9 см, 12 см и 15 см.
8.2 Решение треугольников - Атанасян 11 класс


844. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках L, М и N. Докажите, что отношение площади треугольника LMN к площади треугольника ABC равно отношению радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC, к диаметру окружности, описанной около этого треугольника.
8.2 Решение треугольников - Атанасян 11 класс








845. Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, называется вневписанной. Докажите, что: а) площадь S треугольника ABC выражается формулой S = rа (р - а), где rа — радиус вневписанной окружности, касающейся стороны ВС = а,р — полупериметр треугольника; б) S = √rrarbrc, 1/ra+1/rb+1/rc=1/r, где
r — радиус окружности, вписанной в треугольник, rа, rb, rс — радиусы вневписанных окружностей.

8.2 Решение треугольников - Атанасян 11 класс


846. Докажите, что площадь S выпуклого четырехугольника со сторонами а, b, с, d и полупериметром р выражается формулой S = rа (р - а) + rс (р - с), где rа и rс — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных а и с (рис. 218).
8.2 Решение треугольников - Атанасян 11 класс


847. Докажите, что: а) квадрат площади S выпуклого четырехугольника со сторонами a,b, с, d и полупериметром р выражается формулой S2 = (р - а) (р - b) (р - с) (р - d) - abcd cos2(B+D)/2; б) площадь S вписанного четырехугольника выражается формулой
S = √(p-a)(p-b)(p-c)(p-d); исходя из этой формулы, получите формулу Герона для площади треугольника.

8.2 Решение треугольников - Атанасян 11 класс


848. Докажите, что: а) площадь S четырехугольника со сторонами а, b, с, d, описанного около окружности, выражается формулой S = √abcd sin(B+D)/2 б) если четырехугольник со сторонами a, b, с, d является одновременно описанным и вписанным, то его площадь S выражается формулой S = √abcd.
8.2 Решение треугольников - Атанасян 11 класс


849. Отрезки AD, АН и AM — биссектриса, высота и медиана треугольника ABC, вписанная в треугольник окружность касается стороны ВС в точке К. Докажите, что МК2 = MD • МН.
8.2 Решение треугольников - Атанасян 11 класс


850. В треугольнике ABC со сторонами АВ = с, ВС = а и СА = b r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей, S — площадь, точка О — центр описанной окружности, Н — точка пересечения высот, отрезки AD и AM — высота и медиана. Докажите, что:
а) а + b = 4R sin (A+B)/2 cos |A-B|/2;
б) | а – b | = 4R cos (A+B)/2 sin |A-B|/2;

8.2 Решение треугольников - Атанасян 11 класс