8.3 Теоремы Менелая и Чевы - Атанасян 11 класс


851. Отрезки АА1 и ВВ1 — биссектрисы треугольника ABC, луч СС1 — биссектриса его внешнего угла, причем точка С1 лежит на прямой АВ. Докажите, что точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой.
8.3 Теоремы Менелая и Чевы  - Атанасян 11 класс


852. Биссектрисы внешних углов А, В и С треугольника ABC пересекают продолжения противоположных сторон в точках А1, В1 и С1. Докажите, что точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой.
8.3 Теоремы Менелая и Чевы  - Атанасян 11 класс


853. На сторонах ВС, СА и АВ треугольника ABC или их продолжениях отмечены соответственно точки А1, В1 и C1, лежащие на одной прямой. Докажите, что точки А2, В2 и С2, симметричные соответственно точкам А1, В1 и С1 относительно середин сторон ВС, СА и АВ, также лежат на одной прямой.
8.3 Теоремы Менелая и Чевы  - Атанасян 11 класс


854. Докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
8.3 Теоремы Менелая и Чевы  - Атанасян 11 класс


855. На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырехугольника ABCD отмечены соответственно точки К, L, М и N, не совпадающие с вершинами четырехугольника. Докажите, что: а) прямые KL, MN и АС пересекаются в одной точке или параллельны друг другу тогда и только тогда, когда AK/KB•BL/LC•CM/MD•DN/NA = 1; б) прямые KL, MN и АС пересекаются в одной точке или параллельны друг другу тогда и только тогда, когда это же верно в отношении прямых KN, LM и BD.
8.3 Теоремы Менелая и Чевы  - Атанасян 11 класс


856. Окружность, вписанная в четырехугольник ABCD, касается сторон АВ, ВС, CD и DA соответственно в точках Р, Q, R и S. Докажите, что прямые PQ, RS и АС пересекаются в одной точке или параллельны друг другу.
8.3 Теоремы Менелая и Чевы  - Атанасян 11 класс


857. Окружность с центром О касается двух неравных окружностей с центрами О1 и О2 в точках А1 и А2 соответственно. Докажите, что прямая А1А2 проходит через точку пересечения прямой О1О2 и общей касательной (внешней или внутренней) к окружностям с центрами О1 и О2.
8.3 Теоремы Менелая и Чевы  - Атанасян 11 класс








858. Треугольники ABC и А1В1С1 расположены так, что прямые АВ и A1B1, ВС и B1С1, СА и С1А1 пересекаются в точках Р, Q, R. Докажите, что прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке или попарно параллельны тогда и только тогда, когда точки Р, Q и R лежат на одной прямой (теорема Дезарга).
8.3 Теоремы Менелая и Чевы  - Атанасян 11 класс


859. На стороне ВС треугольника ABC отмечены точки А1 и А2, симметричные относительно середины ВС, а на сторонах АС и АВ отмечены соответственно точки В1, В2 и С1, С2, симметричные относительно середин этих сторон. Докажите, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки АА2, ВВ2 и СС2 пересекаются в одной точке.
8.3 Теоремы Менелая и Чевы  - Атанасян 11 класс


860. Окружность пересекает сторону ВС треугольника ABC в точках А1 и А2, сторону АС — в точках В1 и В2, сторону АВ — в точках С1 и С2. Докажите, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки АА2, ВВ2 и СС2 пересекаются в одной точке.
8.3 Теоремы Менелая и Чевы  - Атанасян 11 класс


861. На стороне АС треугольника ABC отмечены точки Р и Е, а на стороне ВС — точки М и К, причем АР : РЕ : ЕС = СК : КМ : MB. Отрезки AM и BP пересекаются в точке О, а отрезки АК и BE — в точке Т. Докажите, что точки О, Т и С лежат на одной прямой.
8.3 Теоремы Менелая и Чевы  - Атанасян 11 класс


862. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника ABC (либо на одной из сторон и продолжениях двух других сторон) отмечены соответственно точки С1, А1 и В1. Докажите, что прямые АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда:
8.3 Теоремы Менелая и Чевы  - Атанасян 11 класс