5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс


400. Даны точки А (3; -1; 0), В (0; 0; -7), С (2; 0; 0), D (-4; 0; 3), Е (0; -1; 0), F (1; 2; 3), G (0; 5; -7), Н(-√5;√3;0). Какие из этих точек лежат на: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат; г) плоскости Оху; д) плоскости Oyz; е) плоскости Oxz?
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

401. Найдите координаты проекций точек А (2; -3; 5), В (3; -5; 1/2 ) и С(-√3; -√2/2; √5-√3 ) на: а) координатные плоскости Охz, Оху и Oyz; б) оси координат Ох, Оу и Oz.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

402. Даны координаты четырех вершин куба ABCDA1B1C1D1: А (0; 0; 0), В (0; 0; 1), D (0; 1; 0) и А, (1; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин куба.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

403. Запишите координаты векторов:
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

404. Даны векторы a {5; -1; 2}, b {-3; -1; 0}, с {0; -1; 0}, d {0; 0; 0}. Запишите разложения этих векторов по координатным векторам i, j, k.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

405. На рисунке 131 изображен прямоугольный параллелепипед, у которого OA =2, OB = 3, ОО1 = 2. Найдите координаты векторов OA1, OB,, ОО1, ОС, ОС1, ВС1, АС1, О1С в системе координат Oxyz.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

406. Докажите, что каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

407. Даны векторы а {3; -5; 2}, b {0; 7; -1}, c{2/3;0;0} и d {-2,7; 3,1; 0,5}.
Найдите координаты векторов: а) а + b; б) а + с; в) b + с; г) d + b; д) d + а; е) а +b + с; ж) b + а + d; з) а + b + с + d.

5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

408. По данным рисунка 132 найдите координаты векторов АС, СВ, АВ, MN, NP, ВМ, ОМ, ОР, если OA = 4, OB = 9, ОС = 2, а М, N и Р — середины отрезков АС, ОС и СВ.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

409. Даны векторы а {5; -1; 1}, b {-2; 1; 0}, с {0; 0,2; 0} и d{-1/3; 2 2/5; -1/7}. Найдите координаты векторов: а) а - b; б) b — а; в) а - с; г) d - а; д )c-d; е) а - b + с; ж )а-b-с; з) 2а; и)-3 b; к) -6 с; л) -1/3; м) 0,2b.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

410. Даны векторы а {-1; 2; 0}, b {0; -5; -2} и с {2; 1; -3}. Найдите координаты векторов р = Зb - 2а + с и q = Зс - 2Ьb+ а.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

411. Даны векторы а {-1; 1; 1}, b {0; 2; -2}, с {-3; 2; 0} и d {-2; 1; -2}. Найдите координаты векторов: а) За + 2b - с; б) -а + 2с - d; в) 0,1а + 3b + 0,7с - 5d; г) (2а + 3b) - (а - 2b) + 2(а - b).
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

412. Найдите координаты векторов, противоположных следующим векторам: а {2; 0; 0}, b {-3; 5; -7}, с {-0,3; 0; 1,75}.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

414. Найдите значения m и n, при которых следующие векторы коллинеарны:
а) а {15; m; 1} и b {18; 12; n}; б) с {m; 0,4; -1} и d { -1/2; n; 5}

5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

416. Даны векторы OA {3; 2; 1}, OB {1;-3; 5} и ОС{- 1/3; 0,75; -2 3/4}. Запишите координаты точек А, В и С, если точка О — начало координат.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

417. Даны точки А (2; -3; 0), В (7; -12; 18) и С (-8; 0; 5). Запишите координаты векторов OA, OB и ОС, если точка О — начало координат.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

418. Найдите координаты вектора АВ, если: а) А (3; -1; 2), В (2; -1; 4); б) А (-2; 6;-2), В (3;-1; 0); в) A(1;5/6;1/2), B(1/2;1/3;1/4).
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

419. Вершины треугольника ABC имеют координаты: А (1; 6; 2), В (2; 3; -1), С (-3; 4; 5). Разложите векторы АВ, ВС и СА по координатным векторам i, j и k.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

420. Даны точки А (3; -1; 5), В (2; 3; -4), С (7; 0; -1) и D (8; -4; 8). Докажите, что векторы АВ и DC равны. Равны ли векторы ВС и AD?
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

422. Лежат ли точки А, В, С и D в одной плоскости, если:
а) А (-2; -13; 3), В (1; 4; 1), С (-1; -1; -4), D (0; 0; 0);
б) А (0; 1; 0), В (3; 4; -1), С (-2; -3; 0), D (2; 0; 3);
в) А (5; -1; 0), В (-2; 7; 1), С (12; -15; -7), D (1; 1; -2)?

5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

423. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника ABC с вершинами А (х1; у1; z1), В (x2; у2; z2), С (х3; у3; z3) имеет координаты
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

424. Точка М — середина отрезка АВ. Найдите координаты: а) точки М, если А (0; 3; -4), В (-2; 2; 0); б) точки В, если А (14; -8; 5), М (3; -2; -7); в) точки А, если В (0; 0; 2), М (-12; 4; 15).
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

425. Середина отрезка АВ лежит на оси Ох. Найдите m и n, если:
а) А (-3; m; 5), В (2; -2; n); б) А (1; 0,5;-4), В(1;m;2n); в) А (0; m; n + 1), В (1; n; -m +1); г) А (7; 2m + n; -n), В (-5; -3; m - 3).

5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

426. Найдите длину вектора АВ, если: а) А(-1;0;2), В(1;-2;3);
б) А (-35; -17; 20), В (-34; -5; 8).

5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

427. Найдите длины векторов: а {5; -1; 7}, b {2√3; -6; 1}, с = i + j + k, d = -2k, m = i - 2j.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

428. Даны векторы a {3;-2; 1}, b {-2; 3; 1} и с {-3; 2; 1}. Найдите: а) |а + b| б) |a|+|b|; в) |a|-|b; г)|а-b|; д) |3с|; е) √14 |с|; ж) |2а - Зс|.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

429. Даны точки М(-4; 7; 0) и N (0; -1; 2). Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка MN.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

430. Даны точки A(3/2;1;-2), В (2; 2;-3) и С (2; 0;-1). Найдите: а) периметр треугольника ABC; б) медианы треугольника ABC.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

431. Определите вид треугольника ABC, если: а) А (9; 3; -5), В (2; 10; -5), С (2; 3; 2); б) B(3; 7; -4), В (5; -3; 2), С(1; 3; -10); в) А (5; -5; -1), В (5; -3; -1), С (4; -3; 0); г) А (-5; 2; 0), В (-4; 3; 0), С (-5; 2; -2).
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

432. Найдите расстояние от точки А (-3; 4; -4) до: а) координатных плоскостей; б) осей координат.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

433. На каждой из координатных плоскостей найдите такую точку, расстояние от которой до точки А (-1; 2; -3) является наименьшим среди всех расстояний от точек этой координатной плоскости до точки А.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

434. На каждой из осей координат найдите такую точку, расстояние от которой до точки В (3; -4; √7) является наименьшим среди всех расстояний от точек этой оси до точки В.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

435. Даны точки А(1; 0; k), В(-1; 2; 3) и С (0; 0; 1). При каких значениях k треугольник АBС является равнобедренным?
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

436. Даны точки А (4; 4; 0), В (0; 0; 0), С (0; 3; 4) и D (1; 4; 4). Докажите, что ABCD — равнобедренная трапеция.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

437. Найдите точку, равноудаленную от точек А (-2; 3; 5) и В (3; 2; -3) и расположенную на оси: а) Ох; б) Оу; в) Оz.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

438. Даны точки А (-1; 2; 3), В (-2; 1; 2) и С (0; -1; 1). Найдите точку, равноудаленную от этих точек и расположенную на координатной плоскости: а) Оху; б) Оуz; в) Ozx.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

439. Даны точки О (0; 0; 0), А (4; 0; 0), В (0; 6; 0), С (0; 0; -2). Найдите: а) координаты центра и радиус окружности, описанной около треугольника АО В; б) координаты точки, равноудаленной от вершин тетраэдра ОАВС.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс

440. Отрезок CD длины m перпендикулярен к плоскости прямоугольного треугольника ABC с катетами АС = b и ВС = а. Введите подходящую систему координат и с помощью формулы расстояния между двумя точками найдите расстояние от точки D до середины гипотенузы этого треугольника.
5.1. Координаты точки и координаты вектора - Атанасян 11 класс