5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс


Не забудь поделиться с друзьями:

441. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между векторами: а) В1В и B1С; б) DA и B1D1; в) А1С1 и А1В; г) ВС и АС; д) ВВ1 и АС; е) В1С и АD1; ж) A1D1 и ВС; з) АА1 и С1С.
442. Угол между векторами АВ и CD равен φ. Найдите углы ВА DC, ВА CD, АВ DC.

5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

443. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а, точка О1 — центр грани A1B1C1D1. Вычислите скалярное произведение векторов: a) AD и В1C1; б) АС и С1A1; в) D1В и АС; г) ВА1 и ВС1; д) А1О1 и А1C1; е) D1O1 и B1O1; ж) ВО1 и С1В.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

444. Даны векторы а {1; -1; 2}, b {-1; 1; 1} и с {5; 6; 2}. Вычислите ас, a b, bc, a a.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

445. Даны векторы a=3i-5j + k и b = j- 5k. Вычислите: а) а b; б) а i; в) bj г) (a + b)k; д) (а - 2b)(k + i - 2j).
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

446. Даны векторы а {3; -1; 1}, b {-5; 1; 0} и с {-1; -2; 1}. Выясните, какой угол (острый, прямой или тупой) между векторами: а) а и b; б) b и с; в) а и с.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

447. Дан вектор а {3; -5; 0}. Докажите, что: a) ai 90°; в) ak = 90°.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

448. Даны векторы а {-1; 2; 3} и b {5; x; -1}. При каком значении х выполняется условие: a) ab = 3; б) a b = -1; в)a┴b?
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

449. Даны векторы а = mi+ 3j + 4k и b = 4i + mj - 7k. При каком значении m векторы а и b перпендикулярны?
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

450. Даны точки А (0; 1; 2), В (√2; 1; 2), С (√2; 2; 1) и D (0; 2; 1). Докажите, что ABCD — квадрат.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

451. Вычислите угол между векторами:
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

452. Вычислите углы между вектором а {2; 1; 2} и координатными векторами.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

453. Даны точки А (1; 3; 0), В (2; 3; -1) и С (1; 2; -1). Вычислите угол между векторами СА и СВ.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

454. Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки А (1; -1; 3), В (3; -1; 1) и С (-1; 1; 3).
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

455. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Вычислите косинус угла между векторами: а) АА1 и АС1 б) BD1 и DB1; в) DB и АС1.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

456. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором АВ = 1, ВС = СС1 = 2. Вычислите угол между векторами DВ1 и ВС1.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

457. Известно, что ас=bс = 60°, | а | = 1, | b | = | с | = 2. Вычислите (а + b) с.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

459. Векторы а и b перпендикулярны к вектору с, ab= 120°, |а| = | b | = | с | = 1. Вычислите: a) скалярные произведения (a + b + c)(2b) и (a - b + c)(a - с); б) |a-b| и |a + b-c|.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

461. Все ребра тетраэдра ABCD равны друг другу. Точки М и N — середины ребер AD и ВС. Докажите, что MN AD = MN ВС = 0.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

462. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АА1 = АВ = AD = 1, ∠DAB = 60°, ∠A1AD = ∠A1AB = 90°. Вычислите:
а) BAD1С1 б) ВС1D1B; в) АС1 АС1; г) |DB1|; д) |A1C|; е) cos (DA1D1В); ж) cos (AC1DB1).

5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

464. Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если: а) А (3; -2; 4), В (4; -1; 2), С (6; -3; 2), D (7; -3; 1); б) А (5; -8; -1), В (6; -8; -2), С (7; -5; -11), D (7; -7; -9); в) А (1; 0; 2), В (2; 1; 0), С (0; -2; -4), D (-2; -4; 0); г) А (-6; -15; 7), В (-7; -15; 8), С (14; -10; 9), D (14; -10; 7).
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

466. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре АА1, причем AM : MA1 = 3 : 1, а точка N — середина ребра ВС. Вычислите косинус угла между прямыми: а) MN и DD1; б) MN и BD; в) MN и B1D; г) MN и А1С.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

467. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = ВС = 1/2 АА1. Найдите угол между прямыми: a) BD и СD1; б) АС и АС1.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

468. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = 1, ВС = 2, ВВ1 = 3. Вычислите косинус угла между прямыми: а) АС и D1B; б) АВ1 и ВС1; в) А1D и АС1.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

469. В кубе ABCDA1B1C1D1 диагонали грани ABCD пересекаются в точке N, а точка М лежит на ребре А1D1, причем А1М : МD1 = 1:4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: a) ABCD; б) DD1С1С; в) AA1D1D.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

470. В тетраэдре ABCD ∠ABD = ∠ABC = ∠DBC = 90°, АВ = BD = 2, ВС = 1. Вычислите синус угла между прямой, проходящей через середины ребер AD и ВС, и плоскостью грани: a) ABD; б) DBC; в) ABC.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

471. Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен 90°.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

472. Дан куб MNPQM1N1P1Q1. Докажите, что прямая РМ1 перпендикулярна к плоскостям MN1Q1 и QNP1.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

473. Лучи OA, OB и ОС образуют три прямых угла АОВ, АОС и ВОС. Найдите угол между биссектрисами углов СОА и АОВ.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

475. В тетраэдре DABC DA = 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см, ∠BAC = 90°, ∠DAB = 60°, ∠DAC = 45°. Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника DBC.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

476. Угол между диагональю АС1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и каждым из ребер АВ и AD равен 60°. Найдите ∠CAC1.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс

477. Проекция точки К на плоскость квадрата ABCD совпадает с центром этого квадрата. Докажите, что угол между прямыми АК и BD равен 90°.
5.2. Скалярное произведение векторов - Атанасян 11 класс