Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс


Не забудь поделиться с друзьями:

490. Даны векторы а {-5; 0; 5}, b {-5; 5; 0} и с {1; -2; -3}. Найдите координаты вектора: а) Зb - За + Зс; б) -0,1с + 0,8а - 0,5b.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

491. Коллинеарны ли векторы?
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

492. Даны точки А (-5; 7; 3) и В (3; -11; 1). а) На оси Ох найдите точку, ближайшую к середине отрезка АВ. б) Найдите точки, обладающие аналогичным свойством, на осях Оу и Оz.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

493. Компланарны ли векторы?
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

494. Даны точки А (3; 5; 4), В (4; 6; 5), С (6; -2; 1) и D (5; -3; 0). Докажите, что ABCD — параллелограмм.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

495. Даны точки А (2; 0; 1), В (3; 2; 2) и С (2; 3; 6). Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника ABC.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

496. Даны координаты четырех вершин параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. А (3; 0; 2), В (2; 4; 5), А1 (5; 3; 1), D (7; 1; 2). Найдите координаты остальных вершин.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

497. Середина отрезка АВ лежит в плоскости Оху. Найдите k, если: а) А (2; 3; -1), В (5; 7; k); б) А (0; 4; k), В (3; -8; 2); в) А (5; 3; к), В (3; -5; 3k).
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

498. Найдите координаты единичных векторов, сонаправленных соответственно с векторами а{2; 1; -2} и b {1; 3; 0}.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

499. Длина вектора а {х; у; z} равна 5. Найдите ординату вектора а, если х =2, z = -√5.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

500. Даны точки М (2; -1; 3), N (-4; 1; -1), Р (-3; 1; 2) и Q (1; 1; 0). Вычислите расстояние между серединами отрезков MN и PQ.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

501. Найдите расстояние от точки В (-2; 5; √3) до осей координат.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

502. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек А (13; 2; -1) и В (-15; 7; -18).
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

503. Найдите координаты центра окружности, описанной около треугольника с вершинами А (0; 2; 2), В (2; 1; 1), С (2; 2; 2).
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

504. Вершины треугольника ABC расположены по одну сторону от плоскости α и находятся от этой плоскости на расстояниях 4 дм, 5 дм и 9 дм. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника до плоскости α.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

505. Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

506. Даны векторы a {-1; 5; 3}, b {3; 0; 2}, с {0,5; -3; 4} и d {2; 1; 0}. Вычислите: a )ab; б ) ас; в )dd; г )(a+b+c)d; д) (а - b )(с - d).
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

507. В тетраэдре DABC DA = DB = DC, ∠ADB = 45°, ∠BDC = 60°. Вычислите угол между векторами: a) DA и BD; б) DB и СВ; в) BD и ВА.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

508. Все ребра тетраэдра ABCD равны друг другу, D1 — проекция точки D на плоскость ABC. Перпендикулярны ли векторы: a) D1В и D1D; б) DD1 и ВС; в) DA и ВС; г) D1B и DC?
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

509. Вычислите косинус угла между прямыми АВ и CD, если: а) А (7; -8; 15), В (8; -7; 13), С (2; -3; 5), D (-1; 0; 4); б) А (8; -2; 3), В (3; -1; 4), С (5; -2; 0), D (7; 0; -2).
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

510. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М — центр грани ВВ1С1С. Вычислите угол между векторами: a) A1D и AM; б) MD и ВВ1.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

511. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ∠BAA1 = ∠BAD = ∠DAA1 = 60°, АВ = AA1 = AD=1. Вычислите длины векторов AC1 и BD1.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

512. Проекция точки М на плоскость ромба ABCD совпадает с точкой О пересечения его диагоналей. Точка N — середина стороны ВС, АС = 8, DB = МО = 6. Вычислите косинус угла между прямой MN и прямой: а) ВС; б) DC; в) АС; г) DB.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

513. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре ВВ1, причем ВМ : МВ1 = 3 : 2, а точка N лежит на ребре AD, причем AN : ND = 2:3. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: a) DD1C1C; б) A1B1C1D1.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

514. Лучи OA, OB, ОС и ОМ расположены так, что AOB = ∠BOC = ∠COA = 90°, ∠AOM = φ1, ∠BOM = φ2, ∠COM = φ3. Докажите, что cos 2 φ1 + cos 2 φ2 + cos 2 φ3 = 1.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

515. Лучи OA, OB и ОС расположены так, что ∠BOC = ∠BOA = 45°, ∠AOC = 60°. Прямая ОН перпендикулярна к плоскости АОВ. Найдите угол между прямыми ОН и ОС.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

516. Дан двугранный угол CABD, равный φ (φ < 90°). Известно, что АС ⊥ АВ и ∠DAB = θ. Найдите cos ∠CAD.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

517. Отрезки СА и DB перпендикулярны к ребру двугранного угла CABD, равного 120°. Известно, что АВ = m, СА = n, BD = р. Найдите CD.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

518. При движении прямая а отображается на прямую а1, а плоскость α — на плоскость α1. Докажите, что: а) если а || α, то а1 || α1; б) если а ⊥ α, то а1 ⊥ α1.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

519. При зеркальной симметрии относительно плоскости α плоскость β отображается на плоскость β1. Докажите, что если плоскость β образует с плоскостью α угол φ, то и плоскость β1 образует с плоскостью α угол φ.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс

520. Докажите, что при параллельном переносе на вектор р: а) плоскость, не параллельная вектору р и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, параллельная вектору р или содержащая этот вектор, отображается на себя.
Дополнительные задачи - Атанасян 11 класс