Погорелов: 49. Метод геометрических мест


45. Даны три точки: А, В, С. Постройте точку X, которая одинаково удалена от точек А и В и находится на данном расстоянии от точки С.

Погорелов: 49. Метод геометрических мест


46. На данной прямой найдите точку, равноудалённую от двух данных точек.

Погорелов: 49. Метод геометрических мест


47. Даны четыре точки: А, В, С, D. Найдите точку X, которая одинаково удалена от точек А и В и одинаково удалена от точек С и D.

Погорелов: 49. Метод геометрических мест


48. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон (рис. 111).

Погорелов: 49. Метод геометрических мест


49. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон.

Погорелов: 49. Метод геометрических мест


50. Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета и гипотенузы.

Погорелов: 49. Метод геометрических мест


51. 1) Из точки А к окружности с центром О и радиусом R проведена касательная (рис. 112). Докажите, что точка С касания лежит на основании равнобедренного треугольника ОАВ, у которого ОА = АВ, ОВ = 2R.
2) Проведите касательную к окружности, проходящую через данную точку вне окружности.








Погорелов: 49. Метод геометрических мест


52. Проведите общую касательную к двум данным окружностям (рис. 113).

Погорелов: 49. Метод геометрических мест


53. Докажите, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство: Пусть ABC - данный треугольник . Пусть прямые, содержащие высоты AP и BQ треугольника ABC пересекаются в точке O. Проведем через точку A прямую, параллельную отрезку BC, через точку B прямую, параллельную отрезку AC, а через точку C - прямую, параллельную отрезку AB. Все эти прямые попарно пересекаются. Пусть точка пересечения прямых, параллельных сторонам AC и BC - точка M, точка пересечения прямых, параллельных сторонам AB и BC - точка L, а прямых, параллельным AB и AC - точка K. Точки KLM не лежат на одной прямой, (иначе бы прямая ML совпадала бы с прямой MK, а значит, прямая BC была бы параллельна прямой AC, или совпадала бы с ней, то есть точки A, B и C лежали бы на одной прямой, что противоречит определению треугольника) . Итак, точки K, L, M составляют треугольник. MA параллельно BC, и MB параллельно AC по построению. А значит, четырёхугольник MACB - параллелограмм. Следовательно, MA = BC, MB = AC. Аналогично AL = BC = MA, BK = AC = MB, KC = AB = CL. Значит, AP и BQ - серединные перпендикуляры к сторонам треугольника KLM. Они пересекаются в точке O, а значит, CO - тоже срединный перпендикуляр. CO перпендикулярно KL, KL параллельно AB, а значит CO перпендикулярно AB. Пусть R - точка пересечения AB и CQ. Тогда CR перпендикулярно AB, то есть CR - это высота треугольника ABC. Точка O принадлежит всем прямым, содержащим высоты треугольника ABC. Значит, прямые, содержащие высоты этого треугольника пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.