Мордкович: §15. Числовые последовательности


15.1. Определите, является ли заданная функция числовой последовательностью:
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.2. Определите, является ли заданная функция числовой последовательностью:
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.3. Составьте математическую модель следующей задачи. Сосулька тает со скоростью 5 капель в мин. Сколько капель упадет на землю через 1 мин, 2 мин, 3 мин, 17 мин и т. д. от начала таяния сосульки? Является ли эта математическая модель числовой последовательностью?
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.4. Выясните, является ли указанное ниже соответствие последовательностью. Если да, то составьте формулу n-то члена последовательности и найдите ее первые пять членов:
а) каждому натуральному числу ставится в соответствие его квадрат;
б) каждому натуральному числу ставится в соответствие его куб;
в) каждому натуральному числу ставится в соответствие число 7;
г) каждому натуральному числу ставится в соответствие обратное число.

Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.5. Приведите примеры последовательностей, заданных:
а) с помощью формулы n-го члена;
б) словесно;
в) рекуррентным способом.

Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.6. Найдите несколько начальных членов возрастающей последовательности всех натуральных чисел, кратных пяти. Укажите ее шестой, девятый, двадцать первый, n-й члены.
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.7. Найдите несколько начальных членов возрастающей последовательности всех натуральных чисел, кратных семи. Укажите ее восьмой, десятый, тридцать седьмой, n-й члены.
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.8. Известно, что (аn) — возрастающая последовательность кубов всех натуральных чисел. Найдите a1, а2, а3, а4, аn.
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.9. Известно, что (сn) — возрастающая последовательность всех натуральных степеней числа 2. Найдите с2, с3, c4, cn.
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.10. Назовите член последовательности (уn), который:
а) следует за членом у31, уn, yn+9, у2n;
б) предшествует члену у91, у639, yn-1, y3n.

Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.11. Назовите все члены последовательности (аn), которые расположены между членами:
а) а638 и a645;
б) a1002 и a 1008;
в) аn+3 и аn+10;
г) an-2 и an+2.

Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.12. По заданной формуле n-го члена последовательности вычислите первые пять членов последовательности.
а) аn = 4n + 1;
б) сn = -7n + 3;
в) bn = 5n + 2;
г) аn = -3n - 7.

Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.13. По заданной формуле n-го члена последовательности вычислите первые пять членов последовательности.
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.14. По заданной формуле n-го члена последовательности вычислите первые пять членов последовательности.
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.15. Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти ее членам:
а) 1, 2, 3, 4, 5, ... ; в) 6, 7, 8, 9, 10, ... ;
б) -2, -1, 0, 1, 2, ... ; г) -1, -2, -3, -4, -5, ... .

Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.16. Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти ее членам:
а) 1, 3, 5, 7, 9, ... ; в) 4, 6, 8, 10, 12, ... ;
б) 3, 6, 9, 12, 15, ... ; г) 4, 8, 12, 16, 20, ... .

Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.17. Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти ее членам:
а) 1, 4, 9, 16, 25, ... ; в) 2, 5, 10, 17, 26, ... ;
б) 4, 9, 16, 25, 36, ... ; г) 1, 8, 27, 64, 125, … .

Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.18. Докажите, что число А является членом последовательности (уn), если:
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.19. Является ли членом последовательности (уn) данное число В? Если является, то укажите номер соответствующего члена последовательности:
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.20. Выпишите первые шесть членов последовательности (хn), заданной рекуррентно:
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.21. Выпишите первые шесть членов последовательности (хn), заданной рекуррентно:
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.22. Докажите, что последовательность (уn) является возрастающей:
а) уn = Зn + 4; в) уn = 7n - 2;
б) уn = 5n2 - 3; г) = 4n2 - 1.

Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.23. Докажите, что последовательность (уn) является убывающей:
а) уn = -2n - 3; в) уn = 4 – 5n;
б) уn = -3n3 + 4; г) уn = -n3 + 8.

Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.24. Выпишите первые семь членов возрастающей последовательности квадратов всех простых чисел.
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.25. По заданной формуле n-го члена последовательности вычислите ее первые пять членов:
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.26. Последовательность задана формулой n-го члена. Вычислите ее первые три члена с четными номерами:
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.27. Последовательность задана формулой n-го члена. Вычислите первые три члена с нечетными номерами:
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.28. Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти ее членам:
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.29. Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти ее членам:
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.30. Выпишите первые шесть членов последовательности (хn), у которой х1 = -3, х2= -2 и каждый член, начиная с третьего, равен удвоенной сумме двух предыдущих членов. Составьте рекуррентное задание последовательности.
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.31. Задайте последовательность рекуррентным способом:
а) 2, 2, 2, 2, 2, ... ; в) 9, 7, 5, 3, 1, ... ;
б) 2, 4, 6, 8, 10, ... ; г) 5, -5, 5, -5, 5, -5, ... .

Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.32. Задайте последовательность рекуррентным способом:
а) 2, 6, 18, 54, 162, ... ; в) ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, …;
б) 1, 8, 15, 22, 29, ... ; г) 3, -9, 27, -81, 243, ... .

Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.33. Выпишите первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа 3:
а) по недостатку; б) по избытку.

Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.34. Найдите сумму первых семи членов последовательности, заданной словесно: n-й член последовательности равен десятичной дроби, целая часть которой равна нулю, а после запятой стоят подряд ровно n единиц.
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.35. Укажите номер члена последовательности хn = (n+1)/(3n+2), равного:
а) 5/14; б) 14/41; в) 6/13; г) 8/23.

Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.36. Последовательность задана формулой аn = (2n - 1)(3n + 2). Является ли членом последовательности число:
а) 0; б) 24; в) 153; г) -2?

Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.37. Последовательность задана рекуррентным способом. Перейдите к аналитическому заданию, т. е. найдите формулу ее n-го члена:
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.38. Постройте график последовательности:
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.39. Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены последовательности (хn) будут больше заданного числа А:
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.40. Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены последовательности (хn) будут меньше заданного числа А:
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.41. Докажите, что последовательность возрастает:
Мордкович: §15. Числовые последовательности

15.42. Докажите, что последовательность убывает:
Мордкович: §15. Числовые последовательности