Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия


16.1. Определите, является ли приведенная ниже последовательность арифметической прогрессией:
а) 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ; в) 13, 10, 7, 4, 1, -2, ... ;
б) 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ; г) 3, 1, 3, 1, 3, 1, ... .

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.2. Определите, является ли приведенная ниже последовательность арифметической прогрессией:
а) -7, -5, -3, -1, 1, ... ; в) 1, ½, 1/3, ¼, 1/5,... ;
б) 3, 0, -3, -6, -8,...; г) 2, 7,12,17, 27,... .

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.3. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии:
а) 3, -1, -5, -9,... ; в) 0,7, 0,9, 1,1, 1,3, ... ;
б) 7, 4, 1, -2, ... ; г) -1, -0,9, -0,8, -0,7, ... .

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.4. Выпишите первые шесть членов арифметической прогрессии (аn) если:
а) а1 = 3, d = 7; в) а1 = -21, d = 3;
б) а1 = 10, d = -2,5; г) а1 = -17,5, d = -0,5.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.5. Запишите конечную арифметическую прогрессию (аn), заданную следующими условиями:
а) а1 = -2, d = 4, n = 5; в) а1 = 2, d = 3, n = 6;
б) a1 = 1, d = -0,1, n = 7; г) а1 = -6, d = 1,5, n = 4.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.6. Запишите конечную арифметическую прогрессию (аn), заданную следующими условиями:
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.7. Найдите разность и десятый член арифметической прогрессии:
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.8. Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 3. Выясните, является ли она арифметической прогрессией. Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.9. Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных чисел, кратных 11. Докажите, что она является арифметической прогрессией; укажите первый член и разность прогрессии.
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.10. Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных степеней числа 3. Выясните, является ли она арифметической прогрессией. Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.11. Выясните, является ли арифметической прогрессией последовательность (хn), заданная формулой n-го члена. Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.12. Докажите, что последовательность (аn) является арифметической прогрессией, и найдите разность прогрессии:
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.13. Зная формулу n-го члена арифметической прогрессии (аn), найдите а1 и d:
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.14. Составьте формулу n-го члена арифметической прогрессии:
а) 2, 5, 8, 11, ... ; в) 7, 5, 3, 1, ... ;
б) 0,5, 1,5, 2,5, 3,5, ... ; г) -1, -1 1/7, -1 2/7, -1 3/7, ... .

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.15. Составьте формулу n-го члена арифметической прогрессии:
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.16. Дана арифметическая прогрессия (аn). Вычислите:
а) а6, если а1 = 4, d = 3;
б) а15, если а1 = -15, d = -5;
в) а17, если а1= -12, d = 2;
г) а9, если а1= 101, d =1/2.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.17. Найдите разность арифметической прогрессии (аn), если:
а) а1 = 12, а5 = 40; в) а1 = -8, а11 = -28;
б) а6 = -30, а16=30; г) а11=4,6, а36= 54,6.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.18. Найдите первый член арифметической прогрессии (аn), если:
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.19. а) Число 29 является членом арифметической прогрессии 9, 11, 13, ... . Найдите номер этого члена.
б) Число 43 является членом арифметической прогрессии 3, 7, 11, ... . Найдите номер этого члена.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.20. Проверьте:
а) является ли число 4,5 членом арифметической прогрессии -1,5, -1, -0,5, ... ;
б) является ли число 43,5 членом арифметической прогрессии 7,5, 11, 14,5, ... .

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.21. Проверьте:
а) является ли число 41 членом арифметической прогрессии (аn), у которой а1= -7, d = 4;
б) является ли число -33 членом арифметической прогрессии (аn), у которой а1 = 3, d = -6.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.22. а) Между числами 15 и 23 вставьте число таким образом, чтобы получившиеся три числа являлись последовательными членами арифметической прогрессии.
б) Между числами 16 и 28 вставьте число таким образом, чтобы получившиеся три числа являлись последовательными членами арифметической прогрессии.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.23. Дана конечная арифметическая прогрессия (аn). Найдите аn , если:
а) а1= 1, d = 2, n = 11;
б) а1 = -1 ½, d = -3,75, n = 21;
в) а1 = 2/3, d = ¾, n = 17;
г) а1 = 0,2, d = 1/3, n = 13.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.24. Дана конечная арифметическая прогрессия (аn). Найдите а1, если:
а) d = 2, n = 15, аn = -10;
б) d = ¼, n = 7, аn = 10 1/2;
в) d = -0,6, n = 17, аn = 9,5;
г) d = -0,3, n = 15, аn = -2,94.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.25. Дана конечная арифметическая прогрессия (аn). Найдите d, если:
а) а1 = 3, аn = 39, n = 11;
б) а1 = -0,2, аn = -18,4, n = 15;
в) a1= 5 5/8, аn = 1 ¼, n = 36;
г) а1 = 3,6, аn = 0, п = 37.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.26. Дана конечная арифметическая прогрессия (аn). Найдите n если:
а) a1 = 1, d = 2/3, an = 67;
б) а1= 0, d = 0,5, аn= 5;
в) а1 = -6, d= ¾, an = 10 1/2;
г) а1 = -4,5, d = 5,5, аn=100.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.27. Является ли число b членом заданной арифметической прогрессии (аn)? Если да, то укажите номер этого члена.
а) а1 = 5, d = 0,3, b = 21,2;
б) a1 = 3,d = -0,35, b = 0,65;
в) а1 = -7, d = 5,1, b = 44;
г) a1 = -0,13, d = 0,02, b = -0,01.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.28. Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены заданной арифметической прогрессии (аn) будут меньше заданного числа А:
а) 2, 1,9, 1,8, 1,7, ... , А = 0;
б) 15,9, 15,5, 15,1, ... , А = 0,9;
в) 110, 100, 90, ... ,А=15;
г) —1, -1,75, -2,5, ... ,А = -16,3.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.29. Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены заданной арифметической прогрессии (аn) будут больше заданного числа А:
а) а1 = -12, d = 3, А = 141;
б) а1 = 4, d = 2,2, А =14,7;
в) а1 = -4,5, d = 5,5, А = 0;
г) а1 = 14,5, d = 0,7, А = 22,9.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.30. Сумма первого и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 14, а произведение второго и четвертого ее членов равно 45. Найдите шестой член этой прогрессии.
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.31. Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 18, а произведение второго и третьего ее членов равно 21. Запишите первые пять членов этой прогрессии, если известно, что третий ее член — положительное число.
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.32. Четыре числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Сумма первых трех равна -21, а сумма трех последних чисел равна -6. Найдите эти числа.
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.33. Найдите сумму Sn членов конечной арифметической прогрессии (аn), если известны первый и последний ее члены:
а) a1 = -1, а30 = 86; в) а1 = -13, а10 = -5;
б) а1 = 41, а20 = -16; г) а1 = 17, а25 = 31.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.34. Найдите сумму первых пятидесяти членов арифметической прогрессии (аn), если известно, что:
а) а1 = 2, a50 = 147; в) а1 = -10, а50 = 137;
б) а1 = 0,5, а50 = -97,5; г) а1 = -1,7, а50 = -8,1.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.35. Найдите сумму первых ста членов арифметической прогрессии (аn), если известно, что:
а) a1 = -12, d = 2; в) а1 = 73, d = -1;
б) а1 = 1,5, d = 0,5; г) а1 = -7,3, d = -1,1.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.36. Найдите сумму первых n членов арифметической прогрессии (an), если известно, что:
а) а1 = -3, d = 1,5, n = 16;
б) а1 = 121, d = - 3,1, n = 25;
в) а1 = -2,5, d = - 0,5, n = 40;
г) а1 = 4,5, d = 0,4, n = 100.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.37. Найдите сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии (an), заданной формулой n-го члена:
а) an = 4n + 3; в) an = -2n + 8;
б) аn = 0,5n - 3; г) аn = -2,5n - 6.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.38. Для арифметической прогрессии (аn) заполните таблицу:
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.39. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии (аn), если а4 = 10, а10 = 19.
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.40. Дана арифметическая прогрессия (аn).
а) Зная, что а11 + а13 = 122, найдите а12;
б) зная, что a19= 5, найдите a18 + a20;
в) зная, что а15 + а17 = -2, найдите а16;
г) зная, что а7= 4, найдите a6 + а8.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.41. Дана арифметическая прогрессия (аn).
а) Зная, что а1 + а20 = 64, найдите а2 + а19;
б) зная, что а3 + а17 = -40, найдите а1 + а19;
в) зная, что а2 + а15 = 25, найдите а1 + а16;
г) зная, что а1 + а25 = -10, найдите а10 + а16.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.42. Дана арифметическая прогрессия (аn).
а) Найдите а10 + а20, если известно, что а9 + а11 = 44 и a19 + a21 = 104.
б) Найдите а15 + а30, если известно, что а14 + а16 = -20 и а29 + a31 = 40.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.43. Найдите те значения х, при которых числа х, 2х - 1, 5х являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.44. Найдите те значения у, при которых числа 2у + 5, у, Зу — 8 являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.45. а) Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 7.
б) Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 2.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.46. а) Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных 8.
б) Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на 12 дают в остатке 5.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.47. Зная формулу n-го члена арифметической прогрессии (аn), найдите а1 и d:
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.48. Составьте формулу n-го члена арифметической прогрессии (аn), если:
а) а5 = 15, а12 = 29; в) а7 = 20, а15 = 40;
б) а9 = -30, а19 = -45; г) а5 = 0,2, а16 = -7,5.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.49. Найдите восьмой член и разность арифметической прогрессии (аn), если:
а) а9 = 8, а7 = -2; в) а7 = -7, а9 = -1;
б) а7 = 4, а9 = -4; г) а9 =-0,9, а7 = -0,7.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.50. а) Между числами -8 и -35 вставили два числа так, чтобы получились четыре последовательных члена арифметической прогрессии. Найдите разность этой прогрессии.
б) Между числами -6 и -15 вставили два числа так, чтобы получились четыре последовательных члена арифметической прогрессии. Найдите разность этой прогрессии.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.51. Дана конечная арифметическая прогрессия (аn). Найдите аn, если:
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.52. Дана конечная арифметическая прогрессия (аn). Найдите a1 если:
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.53. Дана конечная арифметическая прогрессия (аn). Найдите d, если:
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.54. Дана конечная арифметическая прогрессия (аn). Найдите n, если:
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.55. Является ли число b членом заданной арифметической прогрессии (an)? Если да, то укажите номер этого члена.
а) аn = 13 - 0,4n, b = 4,6;
б) аn = Зn - 5,7, b = 69,4;
в) аn = 5n - 104, b = 21;
г) аn = 21,3 - 1,7n, b = 4,3.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.56. Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены заданной арифметической прогрессии (an) будут меньше заданного числа А:
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.57. Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены заданной арифметической прогрессии (аn) будут больше заданного числа А:
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.58. Арифметическая прогрессия задана формулой аn = 6n - 306. Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены прогрессии:
а) больше -12;
б) являются положительными;
в) принадлежат лучу [300; +∞);
г) принадлежат открытому лучу (-6; +∞).

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.59. а) Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7 и не делятся на 13.
б) Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые не делятся ни на 7, ни на 13.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.60. При делении девятого члена арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном получается 2, а в остатке 5. Найдите первый член и разность прогрессии.
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.61. Сумма цифр четырехзначного числа равна 16. Найдите это число, если известно, что его цифры образуют арифметическую прогрессию и цифра единиц на 4 больше цифры сотен.
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.62. Числа -100 и -78 являются соответственно седьмым и девятым членами арифметической прогрессии. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии и сумму ее первых двадцати членов.
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.63. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.64. Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Дойдя до нормы 40 капель в день, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до пяти капель в последний день. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 200 капель)?
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.65. Улитка ползет вверх по дереву, начиная от его основания. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту — на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25 м?
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.66. Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день поднимались на высоту на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту 5000 м?
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.67. Три числа в заданном порядке образуют арифметическую прогрессию. Найдите среднее число, если известно, что утроенная сумма кратных чисел равна 234.
Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.68. Найдите те значения х, при которых данные числа в указанном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию:

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.69. Докажите, что если числа 1/a, 1/b, 1/c в заданном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, то верно равенство:
a) ab + bc + ас = 3ас;
б) b/c + b/a = 2.

Мордкович: § 16. Арифметическая прогрессия

16.70. Докажите, что если числа 1/(a+b), 1/(a+c), 1/(c+b) в заданном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, то числа а2, b2, с2 также образуют конечную арифметическую прогрессию.