Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия


17.1. Найдите первые шесть членов геометрической прогрессии (bn), если:
а) b1 = -1, q = 3; в) b1 = -1, q = -3;
б) b1 = -2, q = - 1/2;

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.2. Дана возрастающая последовательность всех степеней числа 3 с натуральными показателями. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? Если да, то чему равен ее знаменатель?
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.3. Дана убывающая последовательность всех целых отрицательных степеней числа 10. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? Если да, то чему равен ее знаменатель?
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.4. Какие из приведенных ниже последовательностей являются геометрическими прогрессиями?
а) 3, 9, 27, 81, 243, ... ; в) 4, -1, ¼, -1/16, 1/64,... ;
б) 3, 6, 9, 12, 15, ... ;

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.5. Какие из приведенных ниже последовательностей являются геометрическими прогрессиями?
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.6. Какие из приведенных геометрических прогрессий являются возрастающими, какие — убывающими?
а) 3, 9, 27, ... ; в) 4,1, ¼, ... ;
б) -2, 8,-32, ... ;

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.7. Какие из приведенных геометрических прогрессий являются возрастающими, какие — убывающими?
a) b1 = 2, q= 3/2; в) b1 = -3, q = -5;

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.8. Найдите знаменатель геометрической прогрессии:
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.9. Выразите указанные члены геометрической прогрессии (bn) через b1 и q:
а) b5; б) b41; в) bк; г) b2n.

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.10. Последовательность (bn) — геометрическая прогрессия. Найдите:
а) b4, если b1 = 128, q = -1/2;
б) b5, если b1 = 270, q = 1/3;
г) b6, если b1 = 625, q = - 1/5

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.11. Найдите указанный член геометрической прогрессии (bn) по заданным условиям:
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.12. Найдите b1 и q для геометрической прогрессии (bn), заданной следующими условиями:
а) b2 = 8, b3 = -32; в) b2 = 3/2, b3 = ¾;
б) b4 = 1, b5 =- ½; г) b5 = 6, b6 = 3.

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.13. Составьте формулу n-го члена геометрической прогрессии:
а) b1 = 3, q = 2; в) b1 = 2,5, q = -0,2;

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.14. Составьте формулу n-го члена геометрической прогрессии:
а) 8, 4, 2, ... ; в) 4, 1, 1/4 ... ;
б) -1/4; 1/16; -1/64, …;

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.15. Зная формулу n-го члена геометрической прогрессии (bn), определите b1 и q
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.16. а) Между числами 18 и 2 вставьте положительное число так, чтобы получились три последовательных члена геометрической прогрессии.
б) Между числами 16 и 64 вставьте отрицательное число так, чтобы получились три последовательных члена геометрической прогрессии.

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.17. Является ли число В членом геометрической прогрессии (bn)? Если да, то укажите его номер:
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.18. Дана конечная геометрическая прогрессия (bn). Найдите bn, если известно, что:
а) b = 1, q = 3, n = 10; в) b1 = 8, q = ½, n = 5;
б) b1 = 1/2, q = - 1/3, n = 6; г) b1 = 2,5, q = 1,5, n = 5.

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.19. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (bn), если:
а) b1= 7, b4 = 448; в) b1 = 35, b4 = 5/49;
г) b1= 9/5, b6 = -1/135.

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.20. Найдите знаменатель геометрической прогрессии (bn), если:
а) b1 = 5, b9 = 1280; в) b1 = 2, b7 = 1458;
б) b1= 100, b5 = 4/25; г) b1 = 72; b3 = 2.

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.21. Дана конечная геометрическая прогрессия (bn). Найдите n, если:
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.22. Найдите первый член и знаменатель q геометрической прогрессии (bn), если:
а) b7 = 192, b5 = 48 (q > 0); в) b3 = 3 1/4, b6 = - 13/32;
б) b2 = 24, b5 = 81;

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.23. Между числами 1 и 1/8 вставьте два положительных числа так, чтобы получились четыре последовательных члена геометрической прогрессии.
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.24. В правильный треугольник со стороной 32 см последовательно вписываются треугольники; вершины каждого последующего треугольника являются серединами сторон предыдущего треугольника. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию.
Запишите формулу n-го члена полученной прогрессии.

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.25. Найдите сумму первых четырех членов геометрической прогрессии (bn), заданной следующими условиями:
а) b1 = 1, q = 2; в) b1 = 1, q = 1/3;
б) b1 = 3, q = 4; г) b1 = 4, q = - ½.

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.26. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (bn), у которой:
а) b1 = 18, q = 1/3; в) b1 = -12, q = - ½;
б) b1 = 15, q = 2/3.

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.27. Для геометрической прогрессии (bn) найдите Sn, если:
а) b1 = 5, q = 2, n = 6;
б) b1 = -1, q = -1,5, n = 8;
в) b1 = -4, q = ½; n = 13;
г) b1 = 4,5, q = 1/3, n = 8.

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.28. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии:
а) 3, 6, 12, ... ; в) -3, -3/2; -3/4, ... ;
б) -1, 2, -4, ...

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.29. Найдите S5 для геометрической прогрессии (bn), если:
а) b4 = 160, b5 = 320;

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.30. Для геометрической прогрессии (bn) заполните таблицу:
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.31. а) b2 = 4, b4 = 16. Найдите q и b3 (b3 > 0).
б) b5 = 12, b7 = 3. Найдите q и b6 (b6 < 0).
в) b25 = 7, b27 = 21. Найдите q и b26 (b26 0).

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.32. Найдите те значения переменной t, при которых числа t, 4t, 8 являются последовательными членами геометрической прогрессии.
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.33. Найдите те значения переменной у, при которых числа -81, Зу, -1 являются последовательными членами геометрической прогрессии.
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.34. Найдите те значения переменной х, при которых числа х - 1,3x, 6х являются последовательными членами геометрической прогрессии.
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.35. Клиент взял в банке кредит в размере 50 000 р. на 5 лет под 20% годовых. Какую сумму он должен вернуть в банк в конце срока, если условия погашения кредита таковы:
а) проценты возвращаются в банк ежегодно;
б) весь кредит с процентами возвращается в банк в конце срока?

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.36. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, заданной формулой n-го члена:
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.37. Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены геометрической прогрессии (bn) будут больше числа А:
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.38. Укажите номера всех тех членов заданной геометрической прогрессии, которые меньше заданного числа А:
а) 1, 3, 9, 27, ... , А = 729;
б) 3, 1,5, 0,75, ... ,А = 3/32;
в) 243, 81, 27, …, A=1/81;

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.39. В конечной геометрической прогрессии указаны первый член b1 знаменатель q и сумма Sn всех ее членов. Найдите число членов прогрессии:
а) b1= 5, q = 3, Sn = 200;
б) b1=-1, q = 1/2, Sn = -1 63/64;
в) b1 = 3, q = 2, Sn = 189;
г) b1= 3, q=1/3, Sn=4 13/27.

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.40. а) Дана возрастающая геометрическая прогрессия (bn).
Найдите знаменатель и первые три члена этой прогрессии, если
б) Дана убывающая геометрическая прогрессия (bn). Найдите знаменатель и первые три члена этой прогрессии, если Ьb1= 375, b3 = 15.

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.41. а) Дана знакочередующаяся геометрическая прогрессия (bn). Найдите знаменатель прогрессии и сумму ее первых пяти членов, если b1= 5, b3 = 80.
б) Дана знакочередующаяся геометрическая прогрессия (bn). Найдите знаменатель прогрессии и сумму ее первых семи членов, если b1 = 1, b3 = 8.

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.42. Первый член возрастающей геометрической прогрессии (bn) равен 4, а сумма третьего и пятого членов равна 80. Найдите q и b10, если известно, что прогрессия возрастающая.
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.43. Между числами 1 и 81 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.44. Разность между вторым и третьим членами геометрической прогрессии равна 18, а их сумма 54. Определите первый член и знаменатель прогрессии.
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.45. Составьте конечную геометрическую прогрессию из шести членов, зная, что сумма трех первых членов равна 14, а трех последних 112.
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.46. Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда образуют геометрическую прогрессию. Объем параллелепипеда равен 216 м3, а сумма длин всех его ребер равна 104 м. Найдите измерения параллелепипеда.
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.47. Найдите сумму квадратов первых шести членов геометрической прогрессии (bn):
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.48. Найдите сумму:
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.49. Найдите сумму:
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.50. Докажите, что в конечной геометрической прогрессии, имеющей четное число членов, отношение суммы членов, стоящих на четных местах, к сумме членов, стоящих на нечетных местах, равно знаменателю прогрессии.
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.51. Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т. д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.52. Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. р., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 к., во второй — 2 к., в третий — 4 к., в четвертый — 8 к. и т. д. в течение 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько он отдал? Кто выиграл от этой сделки?
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.53. Три числа составляют конечную геометрическую прогрессию. Если последнее число уменьшить на 16, то получится конечная арифметическая прогрессия. Найдите два последних числа, если первое равно 9.
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.54. Сумма трех чисел, составляющих конечную арифметическую прогрессию, равна 24. Если второе число увеличить на 1, а последнее на 14, то получится конечная геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.55. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим числам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три числа, являющиеся последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Найдите седьмой член исходной геометрической прогрессии, если известно, что он меньше 1000.
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.56. Три числа, сумма которых равна 31, можно рассматривать как три последовательных члена некоторой геометрической прогрессии или как первый, второй, седьмой члены некоторой арифметической прогрессии. Найдите эти числа.
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

17.57. На биржевых торгах в понедельник вечером цена акции банка «Городской» повысилась на некоторое количество процентов, а во вторник произошло снижение стоимости акции на то же число процентов. В результате во вторник вечером цена акции составила 99% от ее первоначальной цены в понедельник утром. На сколько процентов менялась котировка акции в понедельник и во вторник?
Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия

Мордкович: § 17. Геометрическая прогрессия