Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи


18.1. Найдите количество всех:
а) двузначных чисел;
б) двузначных чисел, состоящих из разных цифр;
в) двузначных чисел, сумма цифр которых больше 16;
г) двузначных чисел, произведение цифр которых меньше 2.

Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.2. Из цифр 4, 6, 7 составляют различные трехзначные числа без повторяющихся цифр.
а) Найдите наибольшее число.
б) Найдите наименьшее число, у которого вторая цифра равна 7.
в) Сколько чисел, оканчивающихся цифрой 7, можно со-ставить?
г) Сколько всего чисел можно составить?

Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.3. Из цифр 0, 1, 4, 8, 9 составляют двузначное число (повторения цифр допускаются).
а) Найдите наибольшее число.
б) Найдите наименьшее число, которое кратно 9.
в) Сколько четных чисел можно составить?
г) Перечислите все числа, которые кратны 8.

Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.4. Для завтрака на кусок белого, черного или ржаного хлеба можно положить сыр или колбасу. Бутерброд можно запить чаем, молоком или кефиром.
а) Нарисуйте дерево возможных вариантов завтрака.
б) В скольких случаях будет выбран молочный напиток?
в) Что более вероятно: то, что хлеб будет ржаным, или то, что бутерброд будет с сыром?
г) Как изменится дерево вариантов, если известно, что сыр не положат на черный хлеб, а колбасу не будут запивать кефиром?

Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.5. В урне лежат девять неразличимых на ощупь шаров: пять белых и четыре черных. Вынимают одновременно два шара. Если они разного цвета, то их откладывают в сторону, а если одного цвета, то возвращают в урну. Такую операцию повторяют два раза.
а) Нарисуйте дерево возможных вариантов.
б) В скольких случаях в урне останется девять шаров?
в) В скольких случаях в урне останется не более пяти шаров?
г) Нарисуйте дерево возможных вариантов, если указанную в условии операцию повторяют три раза.

Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.6. В коридоре три лампочки.
а) Сколько имеется различных способов освещения коридора, включая случай, когда все лампочки не горят?
б) Сколько имеется различных способов освещения, если известно, что лампочки № 1 и № 2 горят или не горят одновременно?
в) Сколько имеется различных способов освещения, если известно, что при горящей лампочке № 3 лампочка № 2 не горит?
г) Сколько имеется различных способов освещения коридора, когда горит большинство лампочек?

Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.7. Несколько стран решили использовать для своего государственного флага прямоугольник, разделенный на четыре вертикальные полосы одинаковой ширины разных цветов: белого, синего, красного, зеленого. У каждой страны — свой флаг. Сколько всего стран:
а) могут использовать такие флаги;
б) могут использовать флаги с первой белой полосой;
в) могут использовать флаги с третьей не зеленой полосой;
г) могут использовать флаги с синей и с красной полосами, расположенными подряд?

Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.8. В книжке-раскраске нарисованы непересекающиеся треугольник, квадрат и круг. Каждую фигуру надо раскрасить в один из цветов радуги, разные фигуры — в разные цвета.
а) Сколько существует способов раскрашивания?
б) Сколько среди них тех, в которых круг — оранжевый?
в) Сколько среди них тех, в которых треугольник — не красный?
г) Сколько существует способов раскрашивания в холодные цвета?

Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.9. На координатной плоскости отмечены все точки, абсциссы и ординаты которых равны одному из следующих чисел: -3, -1, 1, 2, 7 (повторения допускаются).
а) Сколько всего таких точек?
б) Сколько точек лежит левее оси ординат?
в) Сколько точек лежит выше оси абсцисс?
г) Сколько точек лежит в круге радиусом 5 с центром в начале координат?

Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.10. Известно, что х = 2а3b5с и а, b, с — числа из множества {0, 1, 2, 3} (совпадения допускаются).
а) Найдите наименьшее и наибольшее значения числа х.
б) Сколько всего таких чисел можно составить?
в) Сколько среди них будет четных чисел?
г) Сколько среди них будет чисел, оканчивающихся нулем?

Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.11. Вычислите:
Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.12. Вычислите:
Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.13. Делится ли 11! на:
а) 64; б) 25; в) 81; г) 49?

Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.14. Сократите дробь:
Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.15. Решите в натуральных числах уравнение:
а) n!= 7(n - 1)!; в) (к - 10)! = 77(k - 11)!;
б) (m + 17)! = 420(m + 15)!; г) (3x)! = 504(3x - 3)!.

Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.16. К хозяину дома пришли гости А, В, С, D. За круглым столом — пять разных стульев.
а) Сколько существует способов рассаживания?
б) Сколько существует способов рассаживания, если место хозяина дома уже известно?
в) Сколько существует способов рассаживания, если известно, что гостя С следует посадить рядом с гостем А?
г) Сколько существует способов рассаживания, если известно, что гостя А не следует сажать рядом с гостем D?

Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.17. Из цифр 0, 2, 8, 9 составляют различные трехзначные числа (повторения цифр допускаются).
а) Найдите наименьшее число.
б) Укажите все числа, которые меньше 250.
в) Укажите все нечетные числа, которые больше 900.
г) Укажите все числа, которые кратны 40.

Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.18. На дне портфеля лежат неразличимые на ощупь карандаши: два простых и три цветных. Ученик вынимает их по одному. Ему нужны цветные карандаши, и вынутый простой карандаш он отправляет обратно на дно портфеля, а цветной оставляет на столе. Такая операция повторяется трижды.
а) Нарисуйте дерево возможных вариантов.
б) В скольких случаях все вынутые карандаши будут простыми?
в) В скольких случаях все вынутые карандаши будут цветными?
г) В скольких случаях среди вынутых карандашей цветных будет больше, чем простых?

Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.19. В таблице собрана информация о выходе новостей на четырех телеканалах.
Вы хотите выбрать один выпуск новостей. Нарисуйте дерево возможных вариантов выбора в период:
а) с 6-00 до 11-45; в) с 15-00 до 19-45;
б) с 12-00 до 15-45; г) с 18-00 до 23-45.

Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.20. Учительница подготовила к контрольной работе четыре задачи на решение линейных неравенств, пять текстовых задач (две на движение и три на работу) и шесть задач на решение квадратных уравнений (в двух задачах дискриминант отрицателен). В контрольной должно быть по одной задаче на каждую из трех указанных тем. Найдите общее число:
а) всех возможных вариантов контрольной;
б) тех возможных вариантов, в которых встретится задача на движение;
в) тех возможных вариантов, в которых у квадратного уравнения будет хотя бы один корень;
г) тех возможных вариантов, в которых не встретятся одновременно задача на работу и квадратное уравнение, не имеющее корней.

Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.21. На контрольной будет пять задач: по одной из пройденных пяти тем. По каждой теме учитель составил список из десяти задач. Известно, что на контрольной будут задачи именно из этих списков. По каждой теме ученик умеет решать восемь задач и не умеет решать две задачи. Найдите:
а) общее число всех вариантов контрольной;
б) число вариантов, в которых ученик умеет решать все пять задач;
в) число вариантов, в которых ученик не решит ни одной задачи;
г) число вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи, кроме первой.

Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.22. Известно, что х = 2аЗb5с и а, b, с — различные числа из множества {0, 1, 2, 3}.
а) Найдите наименьшее и наибольшее значения числа х.
б) Сколько всего таких чисел можно составить?
в) Сколько среди них будет нечетных чисел?
г) Сколько среди них будет чисел, кратных 12?

Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.23. а) Точки (0; 0), (2; 0), (3; 2) являются вершинами треугольника. Сколькими способами можно обозначить эти вершины буквами А, В, С?
б) Точки (0; 0), (0; 4), (3; 0), (3; 7) являются вершинами трапеции. Сколькими способами можно обозначить эти вершины буквами К, L, М, N? 
в) Точки (1; -3), (0; 0), (0; 4), (3; 0), (3; 7) являются вершинами выпуклого пятиугольника. Сколькими способами можно обозначить эти вершины буквами Р, R, S, Т, Q?
г) В скольких случаях в задании в) PR будет одной из сторон?

Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.24. В волейбольной команде шесть человек, а на площадке шесть позиций (номеров) для их расстановки.
а) Сколькими способами команда может расположиться на площадке?
б) Сколько есть способов расположения, при которых капитан находится на подаче?
в) Сколько есть способов расположения, при которых капитан находится не на подаче?
г) Сколько есть способов расположения, при которых капитан находится или на подаче, или на месте разыгрывающего?

Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи

18.25. Упростите выражение:
Мордкович: § 18. Комбинаторные задачи