Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций


Не забудь поделиться с друзьями:

7.1. Из двух городов, расстояние между которыми 700 км, одновременно навстречу друг другу отправляются два поезда и встречаются через 5 ч. Если второй поезд отправится на 7 ч раньше первого, то они встретятся через 2 ч после отправления первого поезда. Найдите скорость каждого поезда.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.2. Расстояние между двумя пунктами по реке равно 14 км. Лодка проходит этот путь по течению за 2 ч, а против течения за 2 ч 48 мин. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.3. Моторная лодка против течения реки проплыла 10 км, а по течению 9 км, при этом по течению она шла 45 мин, а против течения — 1 ч 15 мин. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.4. Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найдите эти числа.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.5. Сумма двух чисел равна 46, а сумма их квадратов равна 1130. Найдите эти числа.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.6. Разность двух натуральных чисел равна 24, а их произведение равно 481. Найдите эти числа.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.7 Разность двух натуральных чисел равна 16, а произведение на 553 меньше суммы их квадратов. Найдите эти числа.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.8. Сумма двух натуральных чисел равна 50, а произведение на 11 меньше, чем разность их квадратов. Найдите эти числа.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.9. Какое двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр и в 3 раза больше произведения цифр?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.10. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к заданному числу прибавить 36, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.11. Если к числителю и знаменателю обыкновенной дроби прибавить по 1, то дробь станет равна ½, а если сложить квадраты числителя и знаменателя исходной дроби, то получится 146. Найдите исходную дробь.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.12. Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.13. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 49 м, а его гипотенуза равна 41 м. Найдите площадь треугольника.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.14. Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23 дм, а его гипотенуза равна 37 дм. Найдите периметр треугольника.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.15. Площадь прямоугольного треугольника равна 210 см2, гипотенуза равна 37 см. Найдите периметр этого треугольника.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.16. Турист проплыл на лодке по реке из города А в город В и обратно за 7 ч. Найдите скорость течения реки, если известно, что турист проплывал 2 км против течения за то же время, что и 5 км по течению, а расстояние между городами равно 20 км.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.17. Расстояние между двумя поселками, равное 24 км, первый пешеход преодолел на 2 ч быстрее второго. Если скорость движения первого увеличить на 2 км/ч, а второго на 1 км/ч, то и в этом случае весь путь первый преодолеет на 2 ч быстрее второго. Найдите первоначальные скорости пешеходов.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.18. В первом зрительном зале 350 мест, а во втором — 480. Во втором зале на 5 рядов меньше, чем в первом, но в каждом ряду на 10 мест больше, чем в каждом ряду первого зала. Сколько мест в ряду в каждом зале?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.19. В красном зале кинотеатра 320 мест, а в синем — 360. В красном зале на 2 ряда больше, чем в синем, но в каждом ряду на 4 места меньше, чем в каждом ряду синего зала. Сколько рядов в каждом зале кинотеатра?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.20. В колледже для проведения письменного экзамена по математике было заготовлено 400 листов бумаги. Но на экзаменах по предыдущим предметам отсеялось 20 человек, поэтому каждому абитуриенту смогли дать на 1 лист бумаги больше, чем предполагалось. Сколько человек сдавало экзамен по математике?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.21. Два комбайна, работая совместно, могут выполнить задание за 6 ч. Первый комбайн, работая один, может выполнить это задание на 5 ч скорее, чем второй комбайн. За сколько времени может выполнить задание первый комбайн, работая один?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.22. Две бригады, работая вместе, могут выполнить задание за 8 ч. Первая бригада, работая одна, могла бы выполнить задание на 12 ч быстрее, чем вторая бригада. За сколько часов могла бы выполнить задание первая бригада, если бы она работала одна?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.23. Два экскаватора, работая одновременно, выполнят некоторый объем земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объем работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объема земляных работ?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.24. Чан наполняется двумя кранами при совместной работе за 1 ч. Наполнение чана только через первый кран длится вдвое дольше, чем через второй кран. За какой промежуток времени каждый кран отдельно может наполнить чан?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.25. Аквариум объемом 54 м3 заполняется при помощи двух кранов. При этом первый кран работает 3 ч, а второй — 2 ч. Какова пропускная способность первого крана, если 1 м3 он заполняет на 1 мин медленнее, чем второй?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.26. Два тракториста, работая совместно, вспахали поле за 48 ч. Если бы половину поля вспахал один из них, а затем оставшуюся половину другой, то работа была бы выполнена за 100 ч. За сколько часов мог бы вспахать поле каждый тракторист, работая отдельно?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.27. Двое рабочих вместе могут справиться с заданием за 2 ч. Если один из них сделает 40% задания, а затем второй — оставшуюся часть работы, то на выполнение задания понадобится 4 ч. За какое время сможет выполнить все задание каждый рабочий, действуя в одиночку, если известно, что производительность труда у них различная?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.28. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.29. Если задуманное двузначное число умножить на цифру его единиц, то получится 376, а если из задуманного числа вычесть двузначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится 45. Какое число задумано?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.30. Задуманы два натуральных числа, произведение которых равно 720. Если первое число разделить на второе, то в частном получится 3 и в остатке 3. Какие числа задуманы?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.31. При перемножении двух натуральных чисел, разность которых равна 7, была допущена ошибка: цифра сотен в произведении увеличена на 4. При делении полученного (неверного) произведения на меньший множитель получилось в частном 52 и в остатке 26. Найдите исходные числа.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.32. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 7 и в остатке 6. Если это же двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке число, равное сумме цифр исходного числа. Найдите исходное число.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.33. На участке одноколейной железной дороги длиной 10 км надо уложить рельсы (две полосы). Для укладки имеются рельсы длиной 25 м и 12,5 м. Если уложить все рельсы длиной 25 м, то надо будет израсходовать половину имеющегося количества рельсов длиной 12,5 м. Если же уложить все имеющиеся рельсы длиной 12,5 м, то рельсов длиной 25 м надо уложить 2/3 их количества. Определите общее количество имеющихся рельсов.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.34. Велосипедист за каждую минуту проезжает на 600 м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь длиной 120 км он затрачивает времени на 3 ч больше, чем мотоциклист. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.35. Две модели автомобиля выехали из пунктов А и В навстречу друг другу, причем первая модель вышла из А на 15 с раньше. Пройдя расстояние АВ, равное 60 м, каждая модель сразу повернула обратно и вернулась к месту старта. Найдите скорость каждой модели, если первая встреча между ними произошла через 21 с, а вторая — через 45 с после выхода первой модели.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.36. Из пункта А в одном и том же направлении вышли два лыжника, причем второй стартовал на 6 мин позже первого и догнал первого в 3 км от старта. Дойдя до отметки 5 км, второй лыжник повернул обратно и встретил первого в 4,6 км от старта. Найдите скорости лыжников.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.37. Из пункта А в пункт В, находящийся на расстоянии 70 км от пункта А, выехал велосипедист, а через некоторое время — мотоциклист со скоростью движения 50 км/ч. Мотоциклист догнал велосипедиста в 20 км от пункта А. Прибыв в В, мотоциклист через 36 мин выехал обратно и встретился с велосипедистом спустя 3 ч 20 мин после выезда велосипедиста из А. Найдите скорость велосипедиста.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.38. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В. Каждый идет с постоянной скоростью без остановок и, придя в конечный пункт, тут же поворачивает обратно. Когда они встретились во второй раз, оказалось, что первый прошел на 4 км больше, чем второй. После второй встречи первый прибыл в А через час, а второй в В — через 2,5 ч. Найдите скорости пешеходов.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.39. Два поезда отправляются из пунктов А и В навстречу друг другу. Если поезд из А выйдет на 2 ч раньше, чем поезд из В, то встреча произойдет на середине пути. Если поезда выйдут одновременно, то они встретятся через 3 ч 45 мин. Найдите скорости поездов и расстояние между А и В, если известно, что скорость одного поезда на 40 км/ч больше скорости другого.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.40. По окружности длиной 60 м равномерно в одном на¬правлении движутся две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее другой. При этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 мин. Определите скорости движения точек.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.41. Турист проплыл по реке на лодке 90 км и прошел пешком 10 км. При этом на пеший путь было затрачено на 4 ч меньше, чем на путь по реке. Если бы турист шел пешком столько времени, сколько на самом деле он плыл по реке, а плыл по реке столько времени, сколько на самом деле шел пешком, то соответствующие расстояния были бы равны. Сколько времени он шел пешком и сколько времени он плыл по реке?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.42. От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер прошел 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14 ч. Известно, что скорость катера по течению в 1 1/3 раза больше скорости катера против течения. На каком расстоянии от А катер встретил плот на обратном пути?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.43. Две наборщицы напечатали текст рукописи за 6 ч. Если сначала первая наборщица напечатает половину рукописи, а затем вторая — оставшуюся часть, то на всю работу будет затрачено 12,5 ч. За какое время может выполнить всю работу каждая наборщица?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.44. Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке деталей на 15 ч скорее, чем бригада учеников. Если бригада учеников отработает 18 ч, выполняя это задание, а потом бригада слесарей продолжит выполнение задания в течение 6 ч, то будет выполнено только 60% всего задания. Сколько времени требуется бригаде учеников для самостоятельного выполнения задания?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.45. Мастер, работая с учеником, обрабатывает деталь за 2 ч 24 мин. Если мастер будет работать 2 ч, а ученик — 1ч,то будет выполнено 2/3 всей работы. Сколько времени потребуется мастеру и ученику в отдельности на обработку детали?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.46. Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать участок шоссейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала первая бригада, а заканчивала ремонт участка дороги вторая бригада, работающая не более чем в два раза быстрее первой. В результате ремонт участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бригада в свое рабочее время выполнила 2/3 всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.47. В бассейн проведены две трубы разного сечения. Одна равномерно подает, а вторая равномерно отводит воду, причем через первую бассейн наполняется на 2 ч дольше, чем через вторую опорожняется. При заполненном на 1/3 бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8 ч. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполняет, а вторая опорожняет бассейн?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.48. По двум сторонам прямого угла по направлению к его вершине движутся два тела. В начальный момент тело А отстояло от вершины на 60 м, а тело В — на 80 м. Через 3 с расстояние между А и В стало равным 70 м, а еще через 2 с — 50 м. Найдите скорости движения каждого тела.
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.49. В январе 2006 г. на счет в банке была положена некоторая сумма денег. В конце 2006 г. проценты по вкладу составили 2000 р. Добавив в январе 2007 г. на свой счет еще 18 000 р., вкладчик пришел в банк закрыть счет в декабре 2007 г. и получил 44 000 р. Какая сумма была положена на счет первоначально и сколько процентов в год начисляет банк?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.50. У старшего брата было вдвое больше денег, чем у младшего. Они положили свои деньги на год на счета в разные банки, причем младший брат нашел банк, который дает на 5% годовых больше, чем банк, в который обратился старший брат. Сняв свои деньги со счетов через год, старший брат получил 4600 р., а младший — 2400 р. Сколько денег было бы у братьев в сумме, если бы они с самого начала поменяли свои банки?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.51. Суммарный доход двух предприятий возрастет втрое, если доход первого предприятия останется неизменным, а доход второго увеличится в 4 раза. Во сколько раз надо увеличить доход первого предприятия, оставляя неизменным доход второго, чтобы их суммарный доход вырос в 4 раза?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.52. Торговая фирма получила две партии некоторого товара. Если продавать весь товар по цене 80 р. за 1 кг, то выручка от продаж будет на 15% ниже выручки, которую фирма получила бы, продав первую партию по названной цене, а вторую — по цене, превышающей ее на 25%. Какую часть (по массе) составляет первая партия товара в общем количестве товара этих двух партий?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.53. При смешивании 40%-го раствора соли с 10%-м раствором получили 800 г раствора с концентрацией соли 21,25%. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.54. Имеются два раствора соли в воде, первый — 40%-й, второй — 60%-й. Их смешали, добавили 5 л воды и получили 20%-й раствор. Если бы вместо 5 л воды добавили 5 л 80%-го раствора соли, то получился бы 70%-й раствор. Сколько было 40%-го и сколько 60%-го раствора?
Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций

7.55. Имеется три слитка. Масса первого равна 5 кг, масса второго 3 кг и каждый из них содержит 30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56% меди. Если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60% меди. Каким будет процентное содержание меди в сплаве из всех трех слитков?

Мордкович: § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций